Kettingregel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De kettingregel is een formule voor het bepalen van de afgeleide van een samengestelde functie. De meeste functies zijn samengesteld uit een aantal elementaire functies, waarvan de afgeleiden bekend zijn.

Als een functie f te schrijven is als f(x) = g(h(x)), en de afgeleiden van de functies g en h zijn bekend, dan is:

f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) ,

of eleganter in een meer gebruikte notatie:

\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}x}=\frac{\operatorname{d}f}{\operatorname{d}h} \frac{\operatorname{d}h}{\operatorname{d}x}

Bewijs[bewerken]

Bewijs[bewerken]


(g \circ h)'(x) ~ = \lim_{x \rightarrow x_0} {(g \circ h)(x) - (g \circ h)(x_0) \over x - x_0}


= \lim_{x \rightarrow x_0} {g(h(x)) - g(h(x_0)) \over x - x_0}

= \lim_{x \rightarrow x_0} \left [ {g(h(x)) - g(h(x_0)) \over h(x) - h(x_0)} \cdot {h(x) - h(x_0) \over x - x_0}\right ]

= \lim_{x \rightarrow x_0} {g(h(x)) - g(h(x_0)) \over h(x) - h(x_0)} \cdot \lim_{x \rightarrow x_0} {h(x) - h(x_0) \over x - x_0}

=g'(h(x)) \cdot h'(x)

Dit bewijs is niet altijd geldig. Een voorbeeld hiervan is de constante functie. Er geldt dan echter dat

h(x)=h(x_0) \!

Hierbij wordt dus door nul gedeeld, hetgeen niet gedefinieerd is. Om dit probleem te omzeilen, voert men een hulpfunctie in. Door een hulpfunctie te gebruiken, kan de bovenstaande regel op elke continu functie gebruikt worden.

Visueel bewijs[bewerken]

Nemen we de functie u(v(x)), we willen de afgeleide van u naar x bepalen. We doen dit door de limiet van de verhouding  {\Delta u \over \Delta x} te nemen. De snelheid waarmee de 'inwendige' functie v verandert als x verandert is de afgeleide van v (figuur: rechtsonder); soortgelijk is de snelheid van verandering van u de afgeleide van u (figuur: rechtsboven).

Kettenregel.PNG

In de driehoek linksboven, de afgeleide van de samengestelde functie, geldt:

 {\Delta u \over \Delta x} = {\Delta u \over \Delta v} \cdot {\Delta v \over \Delta x}

Nemen we de limiet voor Δx naar 0, gaan ook Δu en Δv naar nul, er volgt:

 f ' ( x ) = \frac{\operatorname du}{\operatorname dv} \cdot \frac{\operatorname dv}{\operatorname dx}

Toepassing van de kettingregel[bewerken]

Afgeleide samengestelde functies[bewerken]

Eenvoudig voorbeeld[bewerken]

Indien de afgeleide moet bepaald worden van de functie

f(x) = \sin(x^2) \!

Deze functie kan geschreven worden als

g(h(x)) = \sin(x^2) \!

met:

  • g(h) = \sin(h) \!
  • h(x) = x^2 \!

Toepassen van de kettingregel levert dan:

f'\left( x \right) = g'\left( {h\left( x \right)} \right) \cdot h'\left( x \right) = \cos{x^2 } \cdot 2x

Ingewikkelder voorbeeld[bewerken]

De kettingregel maakt het ook mogelijk om de afgeleide te bepalen van functies die uit meer dan twee verschillende functies zijn samengesteld. Veronderstel de volgende functie:

f(x) = \sin\left(e^{\cos(2x)}\right) \!

Het is mogelijk bovenstaande functie te ontleden in een ketting van functies:

a(x) = 2x \!
b(a) = \cos(a) \!
c(b) = e^b \!
d(c) = \sin(c) = f(x) \!

Wanneer de kettingregel wordt gevolgd, dient van iedere individuele functie de afgeleid bepaald te worden:

a'(x) = 2 \!
b'(a) = - \sin(a) \!
c'(b) = e^b \!
d'(c) = \cos(c)\!

De afgeleide van de oorspronkelijke functie is dan het product van alle afzonderlijke afgeleiden van de schakels, oftewel:

f'(x)=a'(x) \cdot b'(a) \cdot c'(b) \cdot d'(c)

waaruit volgt dat

f'(x)=2 \cdot (-\sin(a)) \cdot e^b \cdot \cos(c)

De afgeleide van de functie wordt vervolgens gegeven door

f'(x)=-2 \cdot \sin(2x) \cdot e^{\cos(2x)} \cdot \cos(e^{\cos(2x)})

Afgeleide inverse functies[bewerken]

Onderstel g(x) de inverse functie van f(x), zodat f(g(x)) = x, dan is de afgeleide van f(g(x)) gelijk aan

\! (f(g(x)))'=f'(g(x)) g'(x)=1,

wegens het feit dat f(g(x)) = x, zodat de afgeleide van het linkerlid gelijk is aan de afgeleide van het rechterlid: 1.

Op die manier kunnen we de afgeleide van g (met behulp van de afgeleide van f) bepalen:

g'(x)=\frac{1}{f'(g(x))}.

Dit kunnen we gebruiken om bijvoorbeeld de afgeleide van de boogsinus te bepalen:

\arcsin'(x)=\frac{1}{\sin'(\arcsin(x))}=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Meer dan één veranderlijke[bewerken]

Stel dat f, g en h vectorwaardige functies zijn in meer dan één veranderlijke, bijvoorbeeld

h:D\subset\mathbb{R}^m\to E\subset\mathbb{R}^n,\ 
g:E\to \mathbb{R}^p,\ 
f=g\circ h:D\to\mathbb{R}^p

Dan heeft het begrip differentieerbaarheid nog steeds zin, en indien de functies h en g in de juiste punten differentieerbaar zijn, dan zijn hun afgeleiden in die punten lineaire afbeeldingen:

h'(x):\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,\ g'(h(x)):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p

De meerdimensionale kettingregel zegt dat in dat geval dat f nog steeds differentieerbaar is in x, en dat zijn afgeleide de samengestelde lineaire afbeelding is van de afgeleiden van h en g:

f'(x)=g'(h(x))\circ h'(x)

Als we de betrokken lineaire afbeeldingen schrijven als rechthoekige matrices (bestaande uit alle mogelijke partiële afgeleiden), dan is de matrix van f'(x) gelijk aan het product van de matrices van g'(h(x)) en h'(x). Uitdrukkelijk:

{\partial f_i\over\partial x_k}=\sum_{j=1}^n{\partial g_i\over\partial x_j}{\partial h_j\over\partial x_k}\ (i=1,\ldots,p;\ k=1,\ldots,m)

Zie ook[bewerken]