Kogelbaan

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Een kinderbal ter grootte van een tennisbal stuitert op een harde ondergrond. De foto is gemaakt met een stroboscoop van 25 flitsen per seconde. Te zien is dat de bal na elke botsing wordt afgeplat, in het bijzonder na de eerste. Dat zorgt er samen met de luchtweerstand en draaiing voor dat de baan geen volmaakte parabool is. Draaiing maakt ook de hoek met de bodem na de eerste stuit scherper dan verwacht. Door inelastische vervorming van de bal bij contact met de grond en door luchtweerstand verliest de bal energie zodat hij telkens minder hoog komt en op den duur blijft liggen.

Een kogelbaan is de kromme die een projectiel, bijvoorbeeld een ronde kanonskogel, beschrijft na afschieten.

Paraboolbaan[bewerken]

In de Nederlandse natuurkundetraditie wordt het woord kogelbaan vaak gebruikt als synoniem met een wiskundige figuur, de parabool. Daar zijn echter wel een paar kanttekeningen bij te maken. Om een kogel een echte parabool te laten beschrijven moet aan de volgende eisen voldaan zijn.

  1. De horizontale beweging van de kogel moet eenparig zijn, oftewel de horizontale snelheid (vx) moet constant zijn in de tijd.
  2. De verticale beweging moet eenparig versneld zijn, oftewel de verticale snelheid (vy) moet evenredig met de tijd toenemen.

In eerste benadering en bij lage snelheden van de kogel wordt aan beide eisen voldaan.

Afwijking van paraboolbaan[bewerken]

In de praktijk kunnen de volgende effecten de baan laten afwijken van een parabool.

  • Als wind en luchtweerstand een rol speelt (en bij echte kogels is die rol aanzienlijk) wordt de kogelbaan asymmetrisch en wijkt flink af van een parabool.
  • Een eenparige verticale versnelling veronderstelt een uniform gravitatieveld (waarbij "verticaal" de gehele tijd één kant op is): voor een kogel die een flinke afstand aflegt moet echter rekening gehouden worden met de kromming van de aarde. (Als de lanceersnelheid hoog genoeg is komt het projectiel zelfs in een baan rond de aarde).
  • Een ronddraaiende kogel of bal kan afwijken van de paraboolbaan vanwege het Magnuseffect.
  • Het ronddraaien van de aarde kan een afwijking veroorzaken als kogels over een flinke afstand afgeschoten worden, zie Corioliseffect.

Formules[bewerken]

Voor een horizontaal afgeschoten kogel waarbij alle luchtweerstand en andere bovengenoemde effecten verwaarloosd kunnen worden is de plaatstijdfunctie voor een kogelbaan:

\! S_x(t) = v.t
   S_y(t) = - \textstyle{\frac12} g.t^2
Kogelbaan

waarin:

Sx = horizontaal afgelegde afstand (m).
Sy = verticaal afgelegde afstand of kogelval (m).
v = mondingssnelheid (m/s), de kogelsnelheid bij het afschieten.
t = tijd (s).
g = valversnelling (m/s2)

Als de kogel afgeschoten wordt met een hoek (elevatie) \alpha en een snelheid v dan wordt dit:

\! S_x(t) = v\times\cos (\alpha) \times t
   S_y(t) = v\times\sin (\alpha) \times t - \textstyle{\frac12} g\times t^2

omdat men bij het afschieten van een kogel meestal de positie van "de vijand" (S_x,S_y) weet en de snelheid v is de volgende formule veel handiger: \alpha = \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{(\frac{gS_x^2}{v^2})S_y \pm \sqrt{ S_x^2S_y^2 + S_x^4 -(\frac{gS_x^2}{v^2})^2S_x^2}}{(S_x^2+S_y^2)}\right)

Geschiedenis[bewerken]

De parabool-baan van kanonskogels werd voor het eerst geopperd door Galilei in de eerste helft van de 17e eeuw. Hij deed dit na proeven of gedachte-experimenten waarbij kogels van een helling rolden. De paraboolbaan voor kogels werd later wiskundig bewezen door Isaac Newton. Voorwerpen die afwijken van een ronde kogelvorm, zoals een duiker die van een duikplank springt, kunnen ingewikkelde bewegingen maken tijdens de sprong, maar het zwaartepunt kan vrijwel niet anders dan een paraboolbaan beschrijven.

Zie ook[bewerken]