Kromtestraal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De rode straal van de cirkel geeft de kromtestraal aan van de curve C ter plaatse van punt P

De kromtestraal is een maat voor de kromming van een kromme. De kromtestraal wordt in het SI stelsel uitgedrukt in meters. Hoe groter de waarde van de kromtestraal, des te minder gekromd is de curve.

Cirkel[bewerken]

Voor een cirkel is de kromtestraal op elk punt van de cirkel gelijk aan de straal, dat wil zeggen de helft van de diameter.

Willekeurige kromme[bewerken]

Parametervergelijking[bewerken]

Voor een willekeurige kromme, zal de kromtestraal van punt tot punt verschillen. De mate van kromming van een willekeurige kromme kan beschreven worden door de straal van de cirkel die in het beschouwde punt het best bij de kromme aansluit.

Het middelpunt van die cirkel heet krommingsmiddelpunt. Het is het snijpunt van de loodlijnen op de raaklijnen in (x(t),y(t)) en (x(t+dt),y(t+dt)). Daaruit volgt voor de kromtestraal \rho:

\rho(t)=\left(1+\theta(t)^2 \right)^{\frac 32}\left|\frac{dx}{dt}/\frac{d\theta}{dt}\right|\,

waarin

\theta(t)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}\,

de tangens van de hellingshoek (richtingscoëfficiënt) is van de raaklijn.

De formule voor de kromtestraal kan ook geschreven worden als:

\rho(t)=\frac{\left({x'}^2+{y'}^2 \right)^{\frac 32}} { \left| y''x'-y'x'' \right|} \,

waarin de accenten de afgeleiden voorstellen.

Voorgesteld door y=f(x)[bewerken]

Als de kromme beschreven wordt door \ y=f(x) dan is

 \rho =\left| \frac {(1+y'^2)^ \frac{3}{2}}{y''} \right|

Voorbeeld[bewerken]

Voor de eenheidscirkel geldt:

\theta(t)=\frac{dy}{dx}=-\cot(t)\,

zodat de kromtestraal gelijk is aan:

\rho(t)=\left(1+\cot(t)^2 \right)^{\frac 32}\left|\frac{-\sin(t)}{1+\cot(t)^2}\right|=1\,

wat niet verbazend is.