Kronecker-symbool

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het Kronecker-symbool, geschreven als \left(\frac an\right) of (a|n), een veralgemening van het Jacobi-symbool voor alle gehele getallen n.

Het Kronecker-symbool werd geïntroduceerd door Leopold Kronecker.

Definitie[bewerken]

Laat n een niet-nulzijnd geheel getal met priemfactorisatie zijn

u \cdot {p_1}^{e_1} \cdots {p_k}^{e_k},,

waar u een eenheid (dat wil zeggen, u is 1 of −1), en pi de priemgetallen zijn. Laat a een geheel getal zijn.

Het Kronecker-symbool (a|n) wordt gedefinieerd door

 \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{u}\right) \prod_{i=1}^k \left(\frac{a}{p_i}\right)^{e_i}.

Voor oneven getallen pi, is het getal (a|pi) gewoon get gebruikelijke Legendre-symbool. Dit laat het geval over, waar pi = 2. We definiëren (a'|2) door

 \left(\frac{a}{2}\right) = 
\begin{cases}
 0 & \mbox{als }a\mbox{ even is,} \\
 1 & \mbox{als } a \equiv \pm1 \pmod{8},  \\
-1 & \mbox{als } a \equiv \pm3 \pmod{8}.
\end{cases}

Aangezien dit het Jacobi-symbool uitbreidt, is de hoeveelheid (a|u) gewoon 1, wanneer u = 1. Wanneer u = -1, definiëren we dit door

 \left(\frac{a}{-1}\right) = \begin{cases} -1 & \mbox{als }a < 0, \\ 1 & \mbox{als } a \ge 0. \end{cases}

Tenslottte nemen wij

\left(\frac a0\right)=\begin{cases}1&\text{als }a=\pm1,\\0&\text{anders.}\end{cases}

Deze uitbreidingen volstaan om het Kronecker-symbool voor alle geheelgetallige waarden n te definiëren.

Zie ook[bewerken]