Kruisproduct

Het kruisproduct, vectorproduct, vectorieel product, uitwendig product of uitproduct is een wiskundige, binaire operatie in een driedimensionale ruimte op twee vectoren a en b die een vector, genoteerd als a×b, als resultaat geeft die loodrecht staat op de twee oorspronkelijke vectoren a en b.

In tegenstelling tot het inwendig product, is het kruisproduct geen scalair, maar een vector.

Definitie

Grafische voorstelling van het kruisproduct van vectoren a en b. De vector n staat loodrecht op a en b en wijst de beweging aan van een kurkentrekker die van a naar b gedraaid wordt.

Het kruisproduct a×b van de vectoren a en b in een driedimensionale ruimte wordt gedefinieerd door de volgende 3 regels:

1. a×b staat loodrecht op a en b (richting van a×b )
2. a, b en a×b vormen een rechtshandig assenstelsel (zin van a×b );
3. |a×b|=|a| |b| sin(θ) (grootte van a×b), waarin θ de hoek tussen a en b is.

De regels 1 en 2 houden in dat de richting (met zin) van het kruisproduct bepaald wordt door de vector a naar de vector b te draaien alsof men een kurkentrekker hanteert, waarna de richting van de kurkentrekker de richting van het kruisproduct bepaald. Men noemt dit de kurkentrekkerregel. Tegenwoordig spreekt men ook wel van de rechterhandregel of pistoolgreep.

Regel 3 legt de grootte van het kruisproduct vast als gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met de vectoren a en b als zijden.

Het kruisproduct van $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)\,$ en $\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)\,$ kan uitgedrukt worden in de coördinaten van a en b:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_y b_z - a_z b_y , a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)\,$.

Om deze formule te onthouden, schrijft men deze wel in de vorm van de onderstaande determinant, waarin $\mathbf{e_x}$, $\mathbf{e_y}$ en $\mathbf{e_z}$ de eenheidsvectoren langs respectievelijk de x-, y- en z-as voorstellen.

$(a_x,a_y,a_z) \times (b_x,b_y,b_z)= \begin{vmatrix} \mathbf{e_x }& \mathbf{e_y} & \mathbf{e_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \end{vmatrix}=$

$\,=(a_y b_z-b_y a_z)\mathbf{e_x}+(-a_x b_z + b_x a_z)\mathbf{e_y}+(a_x b_y-b_x a_y)\mathbf{e_z}=(a_y b_z - a_z b_y , a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$

Opmerking: In de bovenstaande formule gebruiken we de determinant slechts als geheugensteun en om de berekening te vergemakkelijken. De determinant is niet een echte determinant, dat wil zeggen de determinant van een echte matrix. In principe mogen er enkel scalairen (getallen) in voorkomen, geen vectoren.

Eigenschappen

Meetkundig

• De grootte |a×b| van de vector a×b, is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram met zijden a en b.
• Als a en b evenwijdig (parallel) zijn, is het kruisproduct a×b = 0. Omgekeerd volgt uit a×b = 0, dat a en b evenwijdig zijn (het is wel mogelijk dat a of b de nulvector voorstellen).

Algebraïsch

• a×a = 0,
• a×b = -b×a,
• De identiteit van Jacobi: a×(b×c) + b×(c×a) + c×(a×b) = 0
• De volgende eigenschap (Lagrange) wordt vaak gebruikt:a×(b×c) = (a·c)b – (a·b)c. De identiteit van Jacobi kan er ook mee geverifieerd worden.

De tweede eigenschap volgt uit de toepassing van de eerste eigenschap op (a + b)×(a + b). De eerste eigenschap volgt ook onmiddellijk uit de tweede op voorwaarde dat 1 + 1 ≠ 0, dat wil zeggen dat de karakteristiek van de ring $R$ verschillend is van 2.

De eerste en de derde eigenschap samen betekenen dat, voor een willekeurig lichaam (in België: veld) $K$ met willekeurige karakteristiek, de ruimte $K^3$ met het kruisproduct een Lie-algebra vormt.

Formule van Lagrange

Het uitwendig product van een derde vector met het uitwendig product van twee andere ligt in het vlak van deze laatste twee. Volgens de formule van Lagrange geldt:

$a\times(b\times c) = \langle a,c \rangle b - \langle a,b \rangle c\,$

Ook van Lagrange is de betrekking:

$|a \times b|^2 + |\langle a,b \rangle|^2 = |a|^2 |b|^2,$

die weinig meer inhoudt dan dat de som van de kwadraten van sinus en cosinus gelijk is aan een.

Gebruik

Het kruisproduct wordt in de wiskunde vaak gebruikt om met behulp van twee gegeven vectoren, een vector te bepalen die loodrecht op de twee eerste staat (zie oa. normaalvector).

In de mechanica wordt een kruisproduct gebruikt om een moment ten opzichte van een punt uit te rekenen: $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, met $\vec{M}$ het moment, $\vec{F}$ de kracht, en $\vec{r}$ de plaatsvector. Het zijn alle drie vectoren maar uit andere vectorruimten.

Niet-tensorieel karakter

Het kruisproduct in $\mathbb{R}^3$ blijft bewaard onder een isometrische lineaire transformatie, op het teken na: oriëntatiebewarende isometrieën (rotaties) bewaren het kruisproduct, oriëntatie-omkerende isometrieën (rotatie-inversies, bijvoorbeeld spiegelingen) veranderen het kruisproduct van twee vectoren in zijn tegengestelde.

In de tensoralgebra drukt men bovenstaande eigenaardigheid uit door te zeggen dat het kruisproduct van twee vectoren een pseudovector is.

Externe links

• Mathworld
• Uitleg uitwendig product