Kubusgetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de rekenkunde en de algebra is een kubusgetal een natuurlijk getal dat de derde macht is van een natuurlijk getal. Het natuurlijke getal k is dus een kubusgetal als er een natuurlijk getal n is, zodanig dat

k=n^3.

De eerste tien kubusgetallen zijn:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … (OEIS - A000578)

De aanduiding kubusgetal is afgeleid van de meetkundige vorm van de kubus. Het aantal kubusjes dat nodig is om een grotere kubus te bouwen, komt altijd overeen met een kubusgetal. Zo laat zich bijvoorbeeld een kubus met ribbe 3 opbouwen met behulp van 27 kubussen met ribbe 1.

Door het trekken van de derdemachtswortel van het kubusgetal n, bepaalt men de lengte van de ribbe van de kubus met het volume n.

Er is een recursieve betrekking tussen de opeenvolgende kubusgetallen;

(n+1)^3 =n^3 + 3n^2+3n+1.

Eigenschappen[bewerken]

Uit de opeenvolgende blokken van een, twee, drie, vier, vijf, … oneven natuurlijke getallen in klimmende reeks kan men door sommering kubusgetallen laten ontstaan:

\underbrace{1}_{1}\ \underbrace{3\ 5}_{8}\ \ \underbrace{7\ 9\ 11}_{27}\ \ \underbrace{13\ 15\ 17\ 19}_{64}\ \ \ \underbrace{21\ 23\ 25\ 27\ 29}_{125}\ \ldots

Hieruit blijkt dat elk kubusgetal n3 de som is van n opeenvolgende oneven getallen.

Uitgaande van de rij van de gecentreerde zeshoeksgetallen: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, … verkrijgt men het n-de kubusgetal als de som van de eerste n elementen van de rij:

\begin{align}
1 &= 1\\
8 &= 1 + 7\\
27 &= 1 + 7 + 19\\
64 &= 1 + 7 + 19 + 37\\
125 &= 1 + 7 + 19 + 37 + 61\\
\ldots &= \ldots\end{align}

De som van de eerste n kubusgetallen is gelijk aan het kwadraat van het n-e driehoeksgetal:

\sum_{i=1}^n i^3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Elk natuurlijk getal kan als de som van ten hoogste negen kubusgetallen weergegeven worden (oplossing van het probleem van Waring voor de macht 3). Dat er 9 sommanden nodig kunnen zijn laat het getal 23 zien. Dit getal kan worden weergegeven als

23 = 8 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1\,

maar het zal duidelijk zijn dat het niet met minder kubusgetalsommanden kan.

Kubusgetallen als som van rijen[1][bewerken]

Elk kubusgetal n3 is de som van een rekenkundige rij van n getallen, met als eerste element n en als verschil 2n:

  • 23 = 2 + 6
  • 33 = 3 + 9 + 15
  • 43 = 4 + 12 + 20 + 28
  • 53 = 5 + 15 + 25 + 35 + 45
  • 63 = 6 + 18 + 30 + 42 + 54 + 66
  • 73 = 7 + 21 + 35 + 49 + 63 + 77 + 91 ...

Elk kubusgetal n3 is ook de som van een rekenkundige rij van n getallen, met als eerste element (n2 - n + 1) en als verschil 2 (zoals hierboven reeds aangegeven):

  • 23 = 3 + 5
  • 33 = 7 + 9 + 11
  • 43 = 13 + 15 + 17 + 19
  • 53 = 21 + 23 + 25 + 27 + 29
  • 63 = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41
  • 73 = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 ...

Elk kubusgetal n3 is verder ook de som van een rekenkundige rij van n getallen, met als eerste element (n-2)2 en als verschil 8:

  • 23 = 0 + 8
  • 33 = 1 + 9 + 17
  • 43 = 4 + 12 + 20 + 28
  • 53 = 9 + 17 + 25 + 33 + 41
  • 63 = 16 + 24 + 32 + 40 + 48 + 56
  • 73 = 25 + 33 + 41 + 49 + 57 + 65 + 73 ...
De som van alle getallen in een vierkant van n op n vakjes, linksboven verankerd in deze oneindig uitbreidbare tabel, is gelijk aan de derdemacht van n

Elk kubusgetal n3 is bovendien ook de som van een rekenkundige rij van n getallen, met als eerste element (n2 + n)/2 en als verschil n:

  • 23 = 3 + 5
  • 33 = 6 + 9 + 12
  • 43 = 10 + 14 + 18 + 22
  • 53 = 15 + 20 + 25 + 30 + 35
  • 63 = 21 + 27 + 33 + 39 + 45 + 51
  • 73 = 28 + 35 + 42 + 49 + 56 + 63 + 70...

Ieder getal in zo een rij is zelf de som van n opeenvolgende getallen; bijvoorbeeld voor 53:

15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
20 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6
25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7
30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8
35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9

Een kubusgetal n3 is dus de som van alle getallen in een n op n vierkant met in de eerste rij de getallen 1 tot en met n en waarin de getallen in een volgende rij steeds één hoger zijn dan het getal erboven. De som van de getallen op de diagonalen van dit vierkant is het kwadraatgetal n2.

Een alternatieve manier om dit uit te drukken is: als N de som van alle natuurlijke getallen van 1 tot en met n is, dan is

n3 = N + (N + n) + (N + 2 n) + ... + [N + (n-1)n]

Deze eigenschap is voor het eerst in 1763 door Georg Christoph Lichtenberg opgemerkt.[2]

Externe link[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Charles Wheatstone: "On the Formation of Powers from Arithmetical Progressions." Proceedings of the Royal Society of London, Vol. 7 (1854 - 1855), pp. 145-151
  2. Georg Christoph Lichtenberg's vermischte Schriften, vol. 9, blz. 359