Kwadraatsplitsen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Kwadraatsplitsen is het herschikken van een vergelijking met gebruikmaking van de volgende eigenschap:

(x+y)^2 \equiv x^2 + 2xy + y^2 \!

Afleiding ABC-formule met kwadraatsplitsen[bewerken]

Wanneer we dus een vergelijking tegenkomen van de vorm

\begin{align}ax^2+bx+c=0 \end{align}, met \begin{align} a \neq 0\end{align},

dan gaan we als volgt te werk:

Constante term naar rechts brengen.

\begin{align} ax^2 + bx = -c \end{align}

Delen door \begin{align} a \end{align}.

\begin{align} x^2+\frac{b}{a}x = \frac{-c}{a} \end{align}.

Nu willen we linkerkant van de vergelijking een perfect kwadraat maken. Voor een perfect kwadraat geldt

\begin{align} (x+n)^2 = x^2 +2nx +n^2\end{align}.

Om een perfect kwadraat te krijgen moeten we dus de x-coëfficiënt \begin{align} \left(\frac{b}{a}\right) \end{align} halveren en kwadrateren en het resultaat  \left(\frac{b}{2a}\right)^2 bij beide kanten van de vergelijking optellen...

\begin{align}
 x^2 + 2\frac{b}{2a} x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &{}= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{c}{a} &\text{Kwadraatsplitsen}\\
\end{align}

Nu geldt:

\begin{align}
 (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}
\end{align}

Rechterlid herschrijven door teller en noemer van de rechter term te vermenigvuldigen met \begin{align}4a\end{align}:

\begin{align}
 (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{align}

Nemen we links en rechts de wortel:

\begin{align}
 x + \frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

En zo komen we met behulp van kwadraatsplitsen op de ABC-formule:

\begin{align}
 x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

Meetkundig[bewerken]

We kunnen elke tweede graads vergelijking herschrijven tot

x^2+ax=c \!.

Dit kunnen we ons meetkundig voorstellen als een vierkant met zijden x met twee rechthoekjes met zijden x en a/2.

Vierkant.jpg

We zien dan dat de oppervlakte

x^2 + ax \! is, maar ook
(x+a/2)^2-(\frac{a}{2})^2.

Dit samen geeft:

x^2 + ax = (x+a/2)^2-(\frac{a}{2})^2.

Dit is kwadraatsplitsen.