Kwadraatsplitsen

Kwadraatsplitsen is het herschikken van een vergelijking met gebruikmaking van de volgende eigenschap:

$(x+y)^2 \equiv x^2 + 2xy + y^2 \!$

Afleiding ABC-formule met kwadraatsplitsen

Wanneer we dus een vergelijking tegenkomen van de vorm

$\begin{align}ax^2+bx+c=0 \end{align}$, met $\begin{align} a \neq 0\end{align}$,

dan gaan we als volgt te werk:

Constante term naar rechts brengen.

$\begin{align} ax^2 + bx = -c \end{align}$

Delen door $\begin{align} a \end{align}$.

$\begin{align} x^2+\frac{b}{a}x = \frac{-c}{a} \end{align}$.

Nu willen we linkerkant van de vergelijking een perfect kwadraat maken. Voor een perfect kwadraat geldt

$\begin{align} (x+n)^2 = x^2 +2nx +n^2\end{align}$.

Om een perfect kwadraat te krijgen moeten we dus de x-coëfficiënt $\begin{align} \left(\frac{b}{a}\right) \end{align}$ halveren en kwadrateren en het resultaat $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ bij beide kanten van de vergelijking optellen...

$\begin{align} x^2 + 2\frac{b}{2a} x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 &{}= \left(\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{c}{a} &\text{Kwadraatsplitsen}\\ \end{align}$

Nu geldt:

$\begin{align} (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} \end{align}$

Rechterlid herschrijven door teller en noemer van de rechter term te vermenigvuldigen met $\begin{align}4a\end{align}$:

$\begin{align} (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \end{align}$

Nemen we links en rechts de wortel:

$\begin{align} x + \frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}$

En zo komen we met behulp van kwadraatsplitsen op de ABC-formule:

$\begin{align} x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align}$

Meetkundig

We kunnen elke tweede graads vergelijking herschrijven tot

$x^2+ax=c \!$.

Dit kunnen we ons meetkundig voorstellen als een vierkant met zijden $x$ met twee rechthoekjes met zijden $x$ en $a/2$.

We zien dan dat de oppervlakte

$x^2 + ax \!$ is, maar ook

$(x+a/2)^2-(\frac{a}{2})^2$.

Dit samen geeft:

$x^2 + ax = (x+a/2)^2-(\frac{a}{2})^2$.

Dit is kwadraatsplitsen.