Kwadratisch geheel getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, zijn kwadratische gehele getallen een veralgemening van de rationale gehele getallen naar kwadratische velden. Belangrijke voorbeelden zijn de gehele getallen van Gauss en de gehele getallen van Eisenstein. Hoewel kwadratisch gehele getallen al meer dan honderd jaar onderzocht worden, kent dit onderzoeksgebied nog veel niet opgeloste problemen.

Definitie[bewerken]

Kwadratische gehele getallen zijn oplossingen van vergelijkingen van de vorm:

x2 + Bx + C = 0

voor gehele getallen B en C. Deze oplossingen hebben de vorm a + ωb, waar a, b gehele getallen zijn, en waar ω wordt gedefinieerd als;

\omega =
\begin{cases}
\sqrt{D} & \mbox{if }D \equiv 2, 3 \pmod{4} \\
{{1 + \sqrt{D}} \over 2} & \mbox{if }D \equiv 1 \pmod{4}
\end{cases}

(D is een kwadraatvrij geheel getal).

Deze karakterisering werd in 1871 als eerste door Richard Dedekind gegeven.[1][2] Kwadratische gehele getallen vormen een deelring van een kwadratisch veld \mathbf{Q}(\sqrt{D}), dat de kwadratische ring van gehele getalllen wordt genoemd en dat wordt aangeduid door Z[ω]. Bovendien is Z[ω] de integrale afsluiting van Z in \mathbf{Q}(\sqrt{D}). In andere woorden het is de ring van de gehele getallen \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D})} van \mathbf{Q}(\sqrt{D}) en dus een Dedekind-domein.

Voorbeelden[bewerken]

Klassegetal[bewerken]

Uitgerust met de norm

N(a + b\sqrt{D}) = a^2 - Db^2,

is \mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{D})} een Euclidisch domein (a fortiori, UFD) wanneer D = -1, -2, -3, -7, -11.[4] Aan de andere kan bleek dat \mathbf{Z}[\sqrt{-5}] geen UFD is, omdat het een onherleidbaar element bevat dat geen priemelement is. Het getal 6 heeft bijvoorbeeld twee verschillende factorisaties in niet-reduceerbare getallen:

6 = 2(3) = (1 + \sqrt{-5}) (1 - \sqrt{-5}).

In feite heeft \mathbf{Z}[\sqrt{-5}] klassegetal 2.[5]) Het falen van de unieke factorisatie spoorde Ernst Kummer en Richard Dedekind er toe aan een theorie te ontwikkelen die de verzameling van "priemgetallen" zou uitbreiden; het resultaat was de notie van idealen en de decompositie van idealen door priemidealen.

Zijnde een Dedekind-domein, is een kwadratische ring van gehele getallen dan en slechts dan een uniek factorisatiedomein als het ook een hoofdideaaldomein is (dat wil zeggen dat haar klassegetal gelijk is aan 1). Er bestaan echter kwadratische ringen van gehele getallen die wel hoofdideaaldomeinen, maar die geen Euclidische domeinen zijn. De velduitbreiding \mathbf{Q}[\sqrt{-19}] heeft bijvoorbeeld klassegetal 1, maar haar ring van gehele getallen is niet euclidisch.[5] Er bestaan effectieve methoden om ideale klassegroepen van kwadratische ringen van gehele getallen te berekenen, maar veel theoretische vragen over hun structuur staan na meer dan honderd jaar nog steeds open.

Zie ook[bewerken]

Voetnoten[bewerken]

  1. Dedekind, 1871, Supplement X, blz. 447
  2. Bourbakim 1994, blz. 99
  3. Dummit, pg. 229
  4. Dummit, pag. 272
  5. a b Milne, pag. 64

Referenties[bewerken]