Kwadratuurformule van Gauss

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De kwadratuurformule van Gauss is een methode om een integraal numeriek te benaderen. De kwadratuurformule van Gauss levert van alle numerieke integratiemethodes de hoogste algebraïsche nauwkeurigheid op. De methode is bedacht door Carl Friedrich Gauss.

De integraal van de functie f met gewichtsfunctie w wordt door de kwadratuurformule als volgt benaderd:

\int_a^b w(x)f(x)\;{\rm d}x \approx \sum_{k=1}^n \frac{f(x_k)}{R_n'(x_k)R_{n-1}(x_k)} \frac{r_n}{r_{n-1}}

Daarin

  • is Rn(x) een polynoom van de graad n en vormen de Rn(x) een voor de integraal orthonormaal stelsel, dus:
\int_a^b w(x)R_n(x)R_m(x)\;{\rm d}x =\delta_{nm},
  • zijn de (xk) de nulpunten van Rn(x)
  • is rm de coëfficiënt van xm in Rm(x)
  • stelt R_n'(x) de afgeleide van R_n(x) voor
  • is \delta_{nm} de Kroneckerdelta, dus 1 als n = m en 0 als n ≠ m


Voorbeelden[bewerken]

Tabel
Integratiegrenzen gewichtsfunctie polynomen
a b w(x) R_n(x)
-1 1 1 Legendre-polynoom
a b (x-a)^p (b-x)^q\, Jacobi-polynoom
-1 1 \frac 1{\sqrt{1-x^2}} Chebyshev-polynoom
eerste soort
-1 1 \sqrt{1-x^2} Chebyshev-polynoom
tweede soort
-∞ \exp(-x^2)\, Hermite-polynoom
0 \exp(-x)\, Laguerre-polynoom
0 x^p \exp(-x)\, geassocieerd
Laguerre-polynoom

De coëfficiënten van de polynomen en van hun afgeleiden zijn evenals hun nulpunten in een tabel te vinden.