Lebesgue-integraal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskundige analyse geeft de integraal van een positieve functie een nauwkeurige betekenis aan het begrip "oppervlakte onder de kromme". Een eenvoudiger integraalbegrip is gebaseerd op de formulering van Bernhard Riemann en wordt daarom soms riemann-integraal genoemd. De lebesgue-integraal, genoemd naar zijn bedenker Henri Lebesgue, is een constructie die een grotere klasse van functies integreerbaar maakt; hij kan bovendien worden gebruikt over andere domeinen dan de reële getallen.

Stellingen die over limieten van integralen gaan, zijn vaak eenvoudiger te formuleren en te bewijzen in termen van de lebesgue-integraal dan met de riemann-integraal.

Constructie van de lebesgue-integraal[bewerken]

Een overzichtelijke opbouw van de lebesgue-integraal gebeurt in de volgende stappen:

  • invoering van meetbare verzamelingen
  • definitie van de maat van meetbare verzamelingen, maattheorie
  • invoering van meetbare functies
  • definitie van de integraal van niet-negatieve meetbare functie
  • de integraal van (sommige) andere meetbare functies

Meetbare verzamelingen[bewerken]

Aan de basis van meetbaarheid liggen intervallen. Een interval kan eenvoudig worden gemeten en heeft zowel lengte als maat. Ook combinaties van intervallen zijn meetbaar. Uit de maattheorie weten we dat zulke combinaties al te vinden zijn in een sigma-algebra of stam. De borelstam van de reële getallen is de kleinste σ-algebra die alle intervallen bevat en deze bevat dus zeker meetbare verzamelingen.

Lebesgue-maat[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Lebesgue-maat voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De borelstam wordt uitgerust met een maat, de borelmaat, die uniek vastligt door aan ieder eindig interval als maat zijn lengte toe te kennen en een zekere notie van continuïteit te eisen (namelijk dat voor een dalende rij van verzamelingen de limiet van de maat van een verzameling gelijk is aan de maat van de limiet van de rij). De zo ontstane maatruimte is niet volledig, wat inhoudt dat niet elke deelverzameling van een nulverzameling meetbaar is. De borelstam wordt nu uitgebreid tot de lebesguestam, de kleinste σ-algebra die de borelstam én alle deelverzamelingen van borel-nulverzamelingen omvat. De borelmaat kan op eenduidige wijze worden uitgebreid tot de hele lebesguestam en heet dan lebesgue-maat.

Meetbare functie[bewerken]

Een functie f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} heet meetbaar als f de lebesgue-stam respecteert, wat wil zeggen dat het inverse beeld van een meetbare verzameling steeds meetbaar is.

Men kan het bestaan aantonen van verzamelingen en functies die niet lebesgue-meetbaar zijn. De meeste reële functies die in alledaagse toepassingen opduiken, zijn evenwel meetbaar.

Integraal van een meetbare functie[bewerken]

De integraal van een functie wordt achtereenvolgens gedefinieerd voor:

  • indicatorfuncties
  • enkelvoudige functies
  • niet-negatieve meetbare functies
  • (sommige) algemene meetbare functies

De indicatorfunctie van een meetbare verzameling A, genoteerd 1_A, neemt de waarde 1 aan op alle elementen van A en 0 overal elders.

De integraal van 1_A is per definitie gelijk aan de maat van A: \int1_A=\mu(A)

De maat van A, en dus de integraal van 1_A, kan eventueel oneindig zijn.

Een enkelvoudige functie is een eindige lineaire combinatie van indicatorfuncties met positieve coëfficiënten a_i:

f(x)=\sum_{i=1}^na_i1_{A_i}(x)

De integraal van een enkelvoudige functie wordt gedefinieerd door lineariteit:

\int f=\sum_{i=1}^na_i\int1_{A_i}=\sum_{i=1}^na_i\mu(A_i)
Integraal van een positieve continue (en dus meetbare) functie. In het blauw de riemann-integraal, in het rood de benadering van de lebesgue-Integraal via een enkelvoudige functie

Zij f nu een willekeurige meetbare functie waarvan de waarden steeds groter dan of gelijk aan nul zijn. We definiëren

\int f=\sup\{\int e|e\le f,e\hbox{ enkelvoudig}\}

Tenslotte kan elke reële functie worden geschreven als het verschil van twee niet-negatieve functies:

f=f^+-f^-,

waar f^+=\max\{f,0\} en f^-=\max\{-f,0\}.

We noemen f integreerbaar als f^+ en f^- allebei een eindige integraal hebben, en in dat geval stellen we

\int f=\int f^+-\int f^-

Ter verantwoording van bovenstaande constructies geldt de volgende stelling:

  • Alle riemann-integreerbare functies zijn lebesgue-integreerbaar en de waarden van de twee integralen stemmen overeen.

Bijna overal[bewerken]

Een eigenschap van reële getallen, of in het algemeen, van de elementen van de drager van een maatruimte, geldt bijna overal als de verzameling waar die eigenschap niet geldt een nulverzameling is.

Zo zeggen we dat twee reële functies f en g bijna overal gelijk zijn, als

\mu\{x|f(x)\neq g(x)\}=0.

De hoofdstelling van de integraalrekening geldt voor de lebesgue-integraal in de volgende vorm:

Als f een lebesgue-integreerbare functie is, en a een willekeurig reëel getal, dan is de primitieve functie

F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:x\mapsto\int f.1_{[a,x]}

bijna overal differentieerbaar en haar afgeleide is bijna overal gelijk aan f.

Integraal van een limietfunctie[bewerken]

In het algemeen mogen limieten en integralen, en in het bijzonder reekssommen en integralen, niet zonder meer worden verwisseld.

Tegenvoorbeeld[bewerken]

Zij

f_n=2^n.1_{\left[2^{-n},2^{1-n}\right]},\ n=1,2,\ldots

dan is voor elk getal x afzonderlijk, fn(x)=0 voor voldoende grote n. De limietfunctie is dus niet alleen bijna overal, maar zelfs overal 0. De afzonderlijke integralen zijn echter constant en verschillend van 0:

\int f_n=2^n.\left(2^{1-n}-2^{-n}\right)=1.

De stelling van de gedomineerde convergentie en de stelling van de monotone convergentie geven voldoende voorwaarden opdat de integraal van een limiet gelijk is aan de limiet van de integralen.