Lemma van Burnside

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het lemma van Burnside, soms ook wel de telstelling van Burnside, het lemma van Cauchy-Frobenius of de baantellingstelling genoemd, is een resultaat in de groepentheorie, die vaak van pas komt, wanneer bij het tellen van wiskundige objecten rekening moet worden gehouden met symmetrie. De verschillende eponiemen van het lemma zijn William Burnside, George Pólya, Augustin Louis Cauchy en Ferdinand Georg Frobenius. Het resultaat is niet gevonden door Burnside, die het lemma alleen in zijn boek 'On the Theory of Groups of Finite Order' citeert. Burnside schreef het lemma aan Frobenius toe.[1]

Laat G in de onderstaande een eindige groep zijn, die inwerkt op een verzameling X. Laat X g voor elke g in G de verzameling van elementen in X aanduiden, die zijn gedekt door g. Het lemma van Burnside poneert de volgende formule voor het aantal banen, aangeduid door |X/G|:[2]

|X/G| = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|X^g|.

Zo is het aantal banen (een natuurlijk getal of +∞) is gelijk aan het gemiddelde aantal punten gedekt door een element van G (dat daarom ook een natuurlijk getal of oneindig is). Als G oneindig is, kan de deling door |G| niet goed worden gedefinieerd; in dat geval geldt de volgende stelling in de kardinaalrekenkunde:

|G| |X/G| = \sum_{g \in G}|X^g| = \max_{g\in G} |X^g|.

Voetnoten[bewerken]

  1. William Burnside, 1897, §119
  2. Rotman, 1995, Hoofdstuk 3