Lemma van Fatou

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het lemma van Fatou, genoemd naar Pierre Fatou, ook lemma van Fatou-Lebesgue genoemd, is een belangrijke hulpstelling in de wiskunde die laat zien dat voor een rij niet-negatieve meetbare functies de Lebesgue-integraal van de liminf van de rij begrensd wordt door de liminf van de Lebesgue-integralen van de functies.

Lemma[bewerken]

Laat

f_n:S\to\R\cup\{\infty\}

voor iedere natuurlijke n een niet-negatieve meetbare functie zijn op de maatruimte (S, Σ, μ). Dan geldt:

\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n \ \rm{d}\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n \ \rm{d}\mu,

waarin de liminf in het linkerlid een puntsgewijze limiet is.

Bewijs

Het hier gegeven bewijs maakt gebruik van de monotone-convergentiestelling. Noem

f=\liminf f_n

en puntsgewijze

g_k=\inf_{n\ge k}f_n,

dan is de rij (gn) stijgend en puntsgewijs convergent naar f.

Als kn, geldt

g_k\le f_n, dus ook \int_S g_k\,d\mu\le\int_S f_n\,d\mu,

zodat

\int_S g_k\,d\mu\le\inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu.

Met behulp van de monotone-convergentiestelling, volgt nu:


\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu=
\lim_{k\to\infty}\int_S g_k\,d\mu\le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu=
\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.



Dat de integraal en de liminf niet zomaar verwisseld mogen worden, blijkt onder meer uit het volgende voorbeeld waarin de ongelijkheid strikt geldt.

Voorbeeld[bewerken]

Neem S = [0,1], voorzien van de Borel σ-algebra en de Lebesgue-maat en zij

f_n(x) = \left\{\begin{matrix} n & \mbox {voor }0<x<\tfrac 1n, \\
\ \\
0 & \mbox {elders.}\end{matrix}\right.

Dan convergeert de rij functies puntsgewijze naar 0, maar zijn alle integralen gelijk aan 1.

Zie ook[bewerken]