Lemma van Gauss (getaltheorie)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de getaltheorie geeft het lemma van Gauss een voorwaarde voor een geheel getal om een kwadratisch residu te zijn. Hoewel het lemma geen rol speelt in berekeningen, heeft het lemma theoretisch belang, aangezien het voorkomt in een aantal bewijzen van kwadratische reciprociteit

Het lemma van Gauss maakte zijn eerste opwachting in Carl Friedrich Gauss zijn derde bewijs van kwadratische reciprociteit (1808)[1] en hij bewees het opnieuw in zijn vijfde bewijs (1818) [2]

Formulering van het lemma[bewerken]

Laat a voor enig oneven priemgetal p een geheel getal zijn dat relatief priem is aan p

Beschouw de gehele getallen

a, 2a, 3a, \dots, \frac{p-1}{2}a

en hun kleinste positieve residuen modulo p. Deze residuen zijn alle verschillend; er zijn dus (p−1)/2 residuen.

Laat n het aantal van deze residuen zijn dat groter is dan p/2. Dan geldt dat

\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^n

waar (a/p) het Legendre-symbool is.

Voetnoten[bewerken]

  1. (de) Carl Friedrich Gauss, "Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes"; blz. 458-462 uit Untersuchungen uber Höhere Arithmetik
  2. (de) Carl Friedrich Gauss, "Neue Beweise und Erweiterungen des Fundalmentalsatzes in der Lehre von den quadratischen Reste";. blz. 496-501 uit Untersuchungen uber Höhere Arithmetik