Lemma van Teichmüller-Tukey

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Het lemma van Teichmüller-Tukey (vernoemd naar Oswald Teichmüller en John Tukey, vaak ook alleen lemma van Tukey genoemd) is een stelling uit de verzamelingenleer.

Het lemma is in het kader van de verzamelingenleer gebaseerd op de Zermelo-Fraenkel-axioma's equivalent aan de keuzeaxioma en daarmee dus ook aan het lemma van Zorn, het maximaal-principe van Hausdorff en aan de welgeordendheidsstelling.

Er zijn verschillende formuleringen van het lemma:

  • Is \mathcal{F} een niet-lege verzameling van eindige karakter, dan bestaat er met betrekking tot de verzamelinginclusie een maximaal element.
  • Is \mathcal{F} een niet-lege verzameling van eindige karakter en is A \in \mathcal{F}, dan bestaat er met betrekking tot de verzamelinginclusie een maximaal element B \in \mathcal{F} met A \subseteq B.

Opmerking: een verzameling \mathcal{F} heeft een eindig karakter, wanneer

Y \in \mathcal{F} \leftrightarrow \forall \ Z \ eindig \wedge Z \subseteq Y: Z \in \mathcal{F}.

Het is belangrijk en relatief eenvoudig te bewijzen dat dan voor elk Y \in \mathcal{F} alle deelverzamelingen X \subseteq Y (niet alleen de eindige) elementen van \mathcal{F} zijn: X \in \mathcal {F}.

Externe link[bewerken]