Lemniscaat van Bernoulli

De lemniscaat van Bernoulli (Grieks: λημνίσκος, band) is een wiskundige kromme. Ze werd voorgesteld door Jakob Bernoulli in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694). Ze staat model voor het symbool voor oneindig (∞) in de wiskunde.

Definities

Lemniscaat als meetkundige plaats

• cartesiaanse vergelijking:

$\!\, (x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)$

• polaire vergelijking:

$r=a\sqrt{2\cos{2 \theta}}$

• parametervergelijking met parameter t (eenvoudig uit de polaire vergelijking af te leiden):

$x(t)=\frac{a \cos(t)}{1+\sin(t)^2}$

$y(t)=\frac{a \sin(t)\cos(t)}{1+\sin(t)^2}$

• meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste, vooraf bepaalde punten F₁ = (-a,0) en F₂ = (a,0) gelijk is aan a²:

$\!\, |P F_1|.|P F_2|=a^2$

Eigenschappen

• De bovengedefinieerde lemniscaat heeft een dubbelpunt in de oorsprong.
• De oppervlakte van elk de beide door de bovengedefinieerde lemniscaat omsloten gebieden is a².

Zie ook

• ovalen van Cassini