Lemniscaat van Bernoulli

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De lemniscaat van Bernoulli (Grieks: λημνίσκος, band) is een wiskundige kromme. Ze werd voorgesteld door Jakob Bernoulli in een artikel in zijn Acta Eruditorum (1694). Ze staat model voor het symbool voor oneindig (∞) in de wiskunde.

Definities[bewerken]

Lemniscaat als meetkundige plaats
\!\, (x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)
r=a\sqrt{2\cos{2 \theta}}
  • parametervergelijking met parameter t (eenvoudig uit de polaire vergelijking af te leiden):
x(t)=\frac{a \cos(t)}{1+\sin(t)^2}
y(t)=\frac{a \sin(t)\cos(t)}{1+\sin(t)^2}
  • meetkundige plaats van de punten P waarvoor geldt dat het product van de afstanden tot twee vaste punten constant is - punten: F1 = (-a,0) en F2 = (a,0)
\!\, |P F_1|.|P F_2|=a^2

Eigenschappen[bewerken]

  • De bovengedefinieerde lemniscaat heeft een dubbelpunt in de oorsprong.
  • De oppervlakte van elk der beide door de bovengedefinieerde lemniscaat omsloten gebieden is a2.

Zie ook[bewerken]