Levi-civita-symbool

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Levi-Civita-symbool)
Ga naar: navigatie, zoeken
Visuele weergave van het Levi-Civita-symbool.

Het levi-civita-symbool is een discrete functie van drie variabelen. Deze functie wordt genoteerd als \epsilon_{ijk} en kan drie waarden aannemen: -1, 0, +1. Ze wordt gedefinieerd als volgt:

\epsilon_{ijk} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{als } (i,j,k) \mbox{ een even permutatie van } (1,2,3) \mbox{ is.}\\
-1 & \mbox{als } (i,j,k) \mbox{ een oneven permutatie van } (1,2,3) \mbox{ is.}\\
0  & \mbox{in andere gevallen, d.i.: }i=j \mbox{ of } j=k \mbox{ of } k=i
\end{matrix}
\right.

Een permutatie is (on)even als het geschreven kan worden als een (on)even aantal transposities.

Er bestaat ook een tensor-notatie voor het levi-civita-symbool:

\epsilon_{ijk}=\mathbf{e}^i \cdot (\mathbf{e}^j \times \mathbf{e}^k) met \mathbf{e}^i, \mathbf{e}^j en \mathbf{e}^k eenheidsvectoren uit een rechtshandig coördinaten systeem.

Het levi-civita-symbool is dus te interpreteren als een antisymmetrische tensor.

Als we de componenten van \mathbf{e}^i noteren als \mathbf{e}^i_1, \mathbf{e}^i_2 en \mathbf{e}^i_3, dan kunnen we dus ook volgende notatie gebruiken:

\epsilon_{ijk} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}^i_1 & \mathbf{e}^i_2 & \mathbf{e}^i_3\\
\mathbf{e}^j_1 & \mathbf{e}^j_2 & \mathbf{e}^j_3\\
\mathbf{e}^k_1 & \mathbf{e}^k_2 & \mathbf{e}^k_3\\
\end{vmatrix}
.

Deze functie is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Tullio Levi-Civita.

Er is ook een rechtstreeks verband met de kronecker-delta dat blijkt uit volgende formules:


\sum_{i=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
,

\sum_{i,j=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}
.

De functie van drie variabelen kan probleemloos uitgebreid worden naar een functie van n variabelen. Hierbij behouden we gewoon de originele definitie:

\epsilon_{ijk \cdots} =
\left\{
\begin{matrix}
+1 & \mbox{als } (i,j,k,\cdots) \mbox{ een even permutatie van } (1,2,3,\cdots ,n) \mbox{ is.}\\
-1 & \mbox{als } (i,j,k,\cdots) \mbox{ een oneven permutatie van } (1,2,3,\cdots ,n) \mbox{ is.}\\
0  & \mbox{in andere gevallen, d.i.: }i=j \mbox{ of } j=k \mbox{ of } k=i \mbox{ of } \cdots
\end{matrix}
\right.

Zie ook[bewerken]