Levi-Civita-symbool

Visuele weergave van het Levi-Civita-symbool.

Het Levi-Civita-symbool is een discrete functie van drie variabelen. Deze functie wordt genoteerd als $\epsilon_{ijk}$ en kan drie waarden aannemen: -1, 0, +1. Ze wordt gedefinieerd als volgt:

$\epsilon_{ijk} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{als } (i,j,k) \mbox{ een even permutatie van } (1,2,3) \mbox{ is.}\\ -1 & \mbox{als } (i,j,k) \mbox{ een oneven permutatie van } (1,2,3) \mbox{ is.}\\ 0 & \mbox{in andere gevallen, d.i.: }i=j \mbox{ of } j=k \mbox{ of } k=i \end{matrix} \right.$

Een permutatie is (on)even als het geschreven kan worden als een (on)even aantal transposities.

Er bestaat ook een tensor-notatie voor het Levi-Civita-symbool:

$\epsilon_{ijk}=\mathbf{e}^i \cdot (\mathbf{e}^j \times \mathbf{e}^k)$ met $\mathbf{e}^i$, $\mathbf{e}^j$ en $\mathbf{e}^k$ eenheidsvectoren uit een rechtshandig coördinaten systeem.

Het Levi-Civita-symbool is dus te interpreteren als een anti-symmetrische tensor.

Als we de componenten van $\mathbf{e}^i$ noteren als $\mathbf{e}^i_1$, $\mathbf{e}^i_2$ en $\mathbf{e}^i_3$, dan kunnen we dus ook volgende notatie gebruiken:

$\epsilon_{ijk} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}^i_1 & \mathbf{e}^i_2 & \mathbf{e}^i_3\\ \mathbf{e}^j_1 & \mathbf{e}^j_2 & \mathbf{e}^j_3\\ \mathbf{e}^k_1 & \mathbf{e}^k_2 & \mathbf{e}^k_3\\ \end{vmatrix}$.

Deze functie is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Tullio Levi-Civita.

Er is ook een rechtstreeks verband met de Kronecker-delta dat blijkt uit volgende formules:

$\sum_{i=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}$,

$\sum_{i,j=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}$.

De functie van drie variabelen kan probleemloos uitgebreid worden naar een functie van $n$ variabelen. Hierbij behouden we gewoon de originele definitie:

$\epsilon_{ijk \cdots} = \left\{ \begin{matrix} +1 & \mbox{als } (i,j,k,\cdots) \mbox{ een even permutatie van } (1,2,3,\cdots ,n) \mbox{ is.}\\ -1 & \mbox{als } (i,j,k,\cdots) \mbox{ een oneven permutatie van } (1,2,3,\cdots ,n) \mbox{ is.}\\ 0 & \mbox{in andere gevallen, d.i.: }i=j \mbox{ of } j=k \mbox{ of } k=i \mbox{ of } \cdots \end{matrix} \right.$

Zie ook

• Anti-symmetrische tensor