Liénard-vergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een Liénard-vergelijking[1] is, in de wiskunde — en meer specifiek, in de studie van dynamische systemen en differentiaalvergelijkingen — een bepaald type differentiaalvergelijking, vernoemd naar de Franse natuurkundige Alfred-Marie Liénard (1869–1958).

Gedurende de periode waarin de radiobuis en vacuümbuis werden ontwikkeld, werden Liénard-vergelijkingen intensief bestudeerd, als modellen voor elektronische oscillatoren. Onder bepaalde voorwaarden geeft de stelling van Liénard de garantie dat er voor zo'n systeem een limietcyclus bestaat.

Definitie[bewerken]

Indien f en g twee continu-differentieerbare functies zijn in \mathbb{R} — waarbij g een oneven functie is, en f een even functie — dan wordt een tweede-orde gewone differentiaalvergelijking van de vorm

{d^2x \over dt^2} +f(x){dx \over dt} + g(x) = 0

een Liénard-vergelijking genoemd. Deze vergelijking kan worden omgezet in een gelijkwaardig stelsel van twee gewone differentiaalvergelijkingen. Definieer

F(x) = \int_0^x f(\xi)\; d\xi, \qquad x_1 = x\, \qquad \text{en} \qquad x_2={dx \over dt} + F(x).

Dan wordt


\begin{bmatrix} 
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 
\end{bmatrix}
= 
\boldsymbol{h}(x_1, x_2) 
= 
\begin{bmatrix} 
x_2 - F(x_1) \\
-g(x_1)
\end{bmatrix}

een Liénard-systeem genoemd.

Voorbeeld[bewerken]

De Van der Pol-oscillator:

{d^2x \over dt^2}-\mu(1-x^2){dx \over dt} +x= 0

is een Liénard-vergelijking, met

f(x) = -\mu ( 1 - x^2), \qquad g(x) = x, \qquad \text{en} \qquad F(x) = -\mu \left( x - \tfrac13 x^3 \right).

De stelling van Liénard[bewerken]

Een Liénard-systeem heeft een unieke en stabiele limietcyclus, die de oorsprong omcirkelt, indien het systeem aan de volgende additionele voorwaarden voldoet:

  • g(x) > 0 voor alle x > 0;
  • \lim_{x \to \infty} F(x) = \lim_{x \to \infty} \int_0^x f(\xi)\; d\xi\ = \infty;   en
  • F(x) heeft exact één positieve wortel met de waarde p, waarbij F(x) < 0 voor 0 < x < p; terwijl F(x) monotoon en positief, F(x) > 0, is voor x > p.

Toepassingen[bewerken]

In 2008[2] is aangetoond dat het Liénard-systeem de werking beschrijft van een opto-elektronisch circuit dat gebruik maakt van een resonante tunneldiode om een laserdiode aan te sturen. Dit resulteert in een opto-elektronische voltage-gecontroleerde oscillator.

Bronnen, noten en/of referenties
  1. (fr) Liénard, A. (1928): "Etude des oscillations entretenues", Revue générale de l'électricité 23, pag. 901–912 en 946–954.
  2. (en) Slight, T.J. et al. (2008): “A Liénard Oscillator Resonant Tunnelling Diode-Laser Diode Hybrid Integrated Circuit: Model and Experiment”, IEEE Journal of Quantum Electronics 44(12), pag. 1158–1163, doi: 10.1109/JQE.2008.2000924