Lichaam (Ned) / Veld (Be)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

Een lichaam (Nederlandse term) of veld (Belgische term) is een algebraïsche structuur die in het Engelse taalgebied wordt aangeduid met 'field', en in het Duitse taalgebied met 'Körper'. Is het aantal elementen van het lichaam eindig dan spreekt men van een eindig lichaam (Nederlands) of eindig veld (Belgisch).

Definitie[bewerken]

Een lichaam of veld is een verzameling die is uitgerust met de bewerkingen optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling (men mag niet delen door nul), waarbij de verzameling voor deze bewerkingen gesloten is (het resultaat van een bewerking moet weer een element zijn van de verzameling) en bovendien optelling en de vermenigvuldiging beide associatief en commutatief zijn. Bovendien is de vermenigvuldiging distributief ten opzichte van de optelling.

Meer formeel is een lichaam/veld een tripel (K, +, *) bestaande uit een niet-lege verzameling K waarop twee bewerkingen: een optelling, aangeduid met het symbool +, en een vermenigvuldiging, aangeduid door *, zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen a en b uit K noteert men meestal met a+b en de vermenigvuldiging van a en b met a*b of kortweg ab. De vermenigvuldiging wordt ook wel genoteerd met · of × en het product dienovereenkomstig met respectievelijk a·b of a×b.

De voorwaarden waaraan de optelling en de vermenigvuldiging moeten voldoen zijn:

  1. Voor alle elementen a en b in K, zullen a+b en a*b weer tot K behoren.
    K is gesloten voor de optelling en de vermenigvuldiging (ook: zowel de optelling als de vermenigvuldiging zijn intern over K)
  2. Voor alle elementen a, b en c uit K, zal (a + b) + c = a + (b + c) en (a*b)*c=a*(b*c).
    De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
  3. Er bestaat in K een element 0 zodat voor alle a uit K geldt dat a+0 = 0 + a = a.
    Men noemt 0 het neutraal element (voor de optelling).
  4. Voor elk element a in K bestaat er een element -a in K zodat a+(-a) = 0 en -a + a = 0.
    Elk element in K heeft een invers element voor de optelling.
  5. Voor alle elementen a en b in K zal a + b = b + a.
    De optelling is commutatief.
  6. Voor alle elementen a, b en c in K, zal a*(b+c) = a*b + a*c.
    De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling.
  7. Er bestaat in K een element 1 zodat voor elk element a in K geldt dat 1*a = a * 1 = a.
    Dit element is dus neutraal element voor de vermenigvuldiging; men noemt 1 het eenheidselement van K.
  8. Voor elke element a in K met a verschillend van 0, bestaat er een element a-1 in K zodat a*a-1 = 1 = a-1*a.
    Elk niet-nul element in K heeft een invers element voor de vermenigvuldiging.
  9. Voor alle elementen a en b in K zal a*b = b*a.
    De vermenigvuldiging is commutatief.
  10. 0 is niet gelijk aan 1.

Indien deze laatste voorwaarde niet geëist wordt, maar de andere wel, zou de verzameling die slechts één element bevat, namelijk 0, een lichaam zijn, en dat is ongewenst.

De voorwaarden 1 tot en met 6 drukken uit dat (K, +, *) ook een ring is. Wordt aan alle bovengenoemde voorwaarden voldaan, behalve dat de vermenigvuldiging commutatief is (voorwaarde 9), dan is er sprake van een delingsring of scheeflichaam (Nederlandse term) of lichaam (Belgische term).

Merk op dat de voorwaarden 3, 4, 5 en respectievelijk 7, 8 en 9, analoge voorwaarden zijn. De voorwaarden 3, 4 en 5 zeggen iets over de optelling, terwijl de voorwaarden 7, 8 en 9 iets zeggen over de vermenigvuldiging.

De aftrekking wordt gedefinieerd door a - b = a + (-b). De deling (door een niet-nul element) wordt gedefinieerd door a/b = a*(b-1).

Alternatieve formulering[bewerken]

Men kan het ook aldus formuleren: (K, +, *) is een lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) indien:

  • (K, +) een commutatieve groep is
  • (K\{0}, *) een commutatieve groep is
  • de bewerking * distributief is ten opzichte van de bewerking +

Voorbeelden[bewerken]

De reële getallen (\mathbb{R}) met de gewone optelling en vermenigvuldiging vormen een commutatief lichaam; idem voor de rationale getallen (\mathbb{Q}) en de complexe getallen (\mathbb{C}).

De gehele getallen (\mathbb{Z}) vormen geen lichaam, omdat de meeste gehele getallen geen invers element hebben voor de vermenigvuldiging.

Als K een lichaam is, dan vormen de rationale functies (veeltermbreuken) in n veranderlijken over K op hun beurt een lichaam.

De restklassen modulo p vormen een commutatief (eindig) lichaam als p een priemgetal is.

Geordend lichaam[bewerken]

Een geordend lichaam is een lichaam dat totaal geordend is op een wijze waarbij aan bepaalde eigenschappen voldaan is.

Gerelateerde onderwerpen[bewerken]