Lichaamsuitbreiding (Ned) / Velduitbreiding (Be)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een velduitbreiding (Vlaamse term), of lichaamsuitbreiding (Nederlandse term), in het vervolg alleen uitbreiding genoemd, een veld/lichaam dat voortgebracht wordt door een bestaand veld/lichaam waaraan een of meer nieuwe elementen zijn toegevoegd. Uitbreidingen zijn de voornaamste objecten van studie in de Galoistheorie.

Zo vormen de complexe getallen \C een uitbreiding van de reële getallen \R. In \R heeft de vergelijking x2 + 1 = 0 geen oplossingen. Voegt men echter een nieuw element toe, de imaginaire eenheid i, die gedefinieerd is als een oplossing van deze vergelijking, en voegt men vervolgens ook alle elementen toe die noodzakelijk zijn om een lichaam/veld te vormen, dan verkrijgt men het lichaam/veld \C van de complexe getallen, waarin alle algebraïsche vergelijkingen ten minste één oplossing hebben.

De graad van een uitbreiding is de dimensie van de uitbreiding als vectorruimte over het oorspronkelijke lichaam/veld.

Het principe van de uitbreidingen kan worden uitgebreid naar ringuitbreidingen, op te vatten als een ring en een van haar deelringen.