Lie-algebra

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een Lie-algebra een algebraïsche structuur, die voornamelijk wordt gebruikt in de studie van meetkundige objecten, zoals Lie-groepen en differentieerbare variëteit. Lie-algebra's werden geïntroduceerd in het kader van de studie van het concept van de infinitesimale transformaties. De term "Lie-algebra" (genoemd naar Sophus Lie), werd in de jaren dertig van de twintigste eeuw ingevoerd door Hermann Weyl.

Definitie[bewerken]

Een Lie-algebra is een (niet noodzakelijk associatief) type algebra over een lichaam (in België: veld); het is een vectorruimte F samen met een binaire operatie [·, ·]

[\cdot,\cdot]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}

die de Lie-haak wordt genoemd en die voldoet aan de volgende axioma's:

 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]
voor alle scalairen a, b in F en voor alle elementen x, y, z in \mathfrak{g}.
 [x,y]=-[y,x]\,
voor alle elementen x, y in \mathfrak{g}. Wanneer F een veld is met karakteristiek twee, moet men een sterkere conditie opleggen:
 [x,x]=0\
voor alle x in \mathfrak{g}.
 [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0 \quad
voor alle x, y, z in \mathfrak{g}.

Voor elke associatieve algebra A met vermenigvuldiging *, kan men een Lie-algebra L(A) construeren. Als een vectorruimte, L(A) gelijk is aan A, dan wordt de Lie-haak van de twee elementen van L(A) gedefinieerd als hun commutator in A:

 [a,b]=a*b-b*a.\

De associativiteit van de vermenigvuldiging * in A impliceert de Jacobi-identiteit van de commutator in L(A). In het bijzonder geeft de associatieve algebra van n × n matrices over een veld F aanleiding tot de algemene lineaire Lie-algebra \mathfrak{gl}_n(F).. De associatieve algebra A wordt de enveloping algebra van de Lie-algebra L(A) genoemd. Het is bekend dat elke Lie-algebra op die manier kan worden ingebed in een algebra die ontstaat uit een associatieve algebra. Zie universele enveloping algebra.

Voorbeelden[bewerken]

Het bijzondere geval, waarbij x.y steeds 0 is, voldoet op triviale wijze aan de axioma's en heet de commutatieve of abelse Lie-algebra.

Het vectorproduct maakt van de driedimensionale coördinatenruimte K^3 over een willekeurig lichaam K, een Lie-algebra.

Als (K,V,+,*) een associatieve algebra is, dan kunnen we van dezelfde K-vectorruimte V een Lie-algebra maken met als productbewerking de ringcommutator

(x,y)\mapsto[x,y]=x*y-y*x

Als M een gladde variëteit is, en TM zijn raakbundel, dan vormen de secties van TM een reële vectorruimte. De Lie-haak van twee vectorvelden maakt van deze vectorruimte een Lie-algebra. Met een gelijkaardige constructie, maar beperkt tot linksinvariante vectorvelden, verkrijgen we de Lie-algebra van een Lie-groep.

Representatiestelling[bewerken]

Elke Lie-algebra is isomorf met een deelalgebra van de lineaire transformaties van een vectorruimte, uitgerust met de commutatorhaak [.,.]