Lijn (meetkunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Intuïtief is het begrip lijn duidelijk. Men denkt zich een lijn als een aaneenschakeling van punten. Een nauwkeurige definitie van een lijn en van een punt geven is moeilijk, daarom worden in de meetkunde lijnen en punten als grondbegrippen beschouwd. Rechte betekent hetzelfde als lijn, lijn wordt meer gebruikt, echter niet in Vlaanderen.

Een praktische definitie is de volgende: een rechte lijn is de kortste verbinding tussen twee punten.

In de wiskunde strekt een lijn zich tot in het oneindige uit en is per definitie recht. Een niet-rechte lijn heet in de wiskunde een kromme.

We onderscheiden drie soorten rechten:

  • een rechte die aan beide kanten onbegrensd doorloopt;
  • een halve lijn, ook: halfrechte of straal, aan één kant begrensd, de andere kant op oneindig doorlopend;
  • een lijnstuk, begrensd door twee punten, met een lengte.

In twee dimensies definieert men de rechten- of lijnenwaaier van twee snijdende rechten als de verzameling van alle rechten die door het snijpunt van die twee rechten gaan. In drie dimensies kent men het analoge begrip vlakkenwaaier als de verzameling van alle vlakken door de snijlijn van twee snijdende vlakken.

Representatie[bewerken]

Drie lijnen in het xy-vlak.

Er zijn verscheidene manieren om een rechte lijn vast te leggen.

  • Door twee punten P en Q van de lijn te geven, ligt de lijn vast.
  • Een andere veelgebruikte methode is een punt P op de lijn en een richtingsvector \vec{v} te geven.
  • Door in een cartesisch assenstelsel een lijnvergelijking te geven.
  • Met poolcoördinaten.

In parametervorm[bewerken]

Als in een xy-assenstelsel de punten P en Q gegeven zijn door:

P=(x_P,y_P),\ Q=(x_Q,y_Q) \, ,

wordt de lijn in geparametriseerde vorm bepaald door:

(x,y)=(1-t)(x_P,y_P)+t(x_Q,y_Q) \, .

Dit kan ook herschreven worden als:

(x,y)=(x_P,y_P)+t(x_Q-x_P,y_Q-y_P) \, ,

wat overeenkomt met de voorstelling door middel van het punt P en de richtingsvector \vec{PQ}.

Met de richtingsvector[bewerken]

Als in een xy-assenstelsel het punt P en de richtingsvector v gegeven zijn door:

P=(x_0,y_0),\ \vec{v}=(x_1,y_1) \, ,

wordt de lijn in geparametriseerde vorm bepaald door:

(x,y)=(x_0,y_0)+t(x_1,y_1) \, ,

door

x=x_0+tx_1\,
y=y_0+ty_1\,

De vergelijking van een lijn[bewerken]

Door eliminatie van de parameter t ontstaat de algemene vergelijking voor een lijn in het xy-assenstelsel:

p x + q y + r = 0 \, .

Deze kan voor  q \neq 0 worden geschreven als:

y=a x+b \, .

Voor  q = 0 \, is de lijn evenwijdig aan de y-as; de vergelijking is:

x=c \, .

Daarin is a de richtingscoëfficiënt. b is de y-waarde van het snijpunt van de lijn met de y-as.

Poolcoördinaten[bewerken]

In een plat vlak is de vergelijking in poolcoördinaten van een rechte lijn die niet door de oorsprong gaat r = b / cos(θ − θ0), waarbij b de afstand van de lijn tot de oorsprong is en θ0 de richting loodrecht op de lijn.

In drie dimensies[bewerken]

Op dezelfde manier geldt in drie dimensies voor de lijn door het punt P met richtingsvector v, gegeven door:

P=(x_0,y_0,z_0),\ \vec{v}=(x_1,y_1,z_1) \, ,

de geparametriseerde vorm:

(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(x_1,y_1,z_1) \, ,

De coördinaatfuncties zijn dus:

x=x_0+tx_1\,
y=y_0+ty_1\,
z=z_0+tz_1\,

Ook hieruit kan weer door eliminatie van de parameter t een voorstelling van de lijn in de vorm van vergelijkingen gevonden worden. Deze voorstelling kunnen we ook bedenken door de lijn als snijlijn van twee vlakken op te vatten, dus voldoend aan elk van de beide vergelijkingen voor de vlakken:

p_1 x + q_1 y + r_1 z + s_1 = 0 \, .
p_2 x + q_2 y + r_2 z + s_2 = 0 \, .

Externe link[bewerken]