Lijst van goniometrische gelijkheden

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De goniometrische basisfuncties zijn op diverse manieren aan elkaar gerelateerd. Dit artikel bevat lijsten met goniometrische gelijkheden of identiteiten.

Grondformule goniometrie[bewerken]

\cos^2 (x) + \sin^2(x) = 1\!

Directe onderlinge relaties[bewerken]

\begin{array}{rl}
 \tan x =& \cfrac{\sin x}{\cos x} \\
 \sec x =& \cfrac{1}{\cos x} \\
 \csc x =& \cfrac{1}{\sin x} \\
 \cot x =& \cfrac{1}{\tan x} = \cfrac{\cos x}{\sin x} \\
\end{array}


Periodiciteit, symmetrie en verschuivingen[bewerken]

\begin{array}{rlrl}
 \sin x =& \sin(x + 2\pi) = \sin(\pi - x) &
 \sin x =& \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\

 \cos x =& \cos(x + 2\pi) = \cos(2\pi - x) &
 \cos x =& \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)  \\

 \tan x =& \tan(x + \pi)  &
 \tan x =& \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\

 \sin(-x) =& -\sin x  &
 \cos(-x) =& \cos x \\

 \tan(-x) =& -\tan x  &
 \cot(-x) =& -\cot x \\
\end{array}

Pythagoraïsche identiteiten (grondformules)[bewerken]

De volgende drie identiteiten zijn gebaseerd op de stelling van Pythagoras en kun je afleiden uit de grondformule door te delen door het kwadraat van de cosinus en respectievelijk het kwadraat van de sinus:

\begin{array}{ccccc}
 \cos^2 x &+& \sin^2 x &=&     1    \\
    1     &+& \tan^2 x &=& \sec^2 x \\
 \cot^2 x &+&    1     &=& \csc^2 x \\
\end{array}

Hoeksom- en hoekverschil-identiteiten[bewerken]

\begin{array}{rcl}
 \sin(x \pm y) &=& \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y) \\
 \cos(x \pm y) &=& \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y) \\
 \tan(x \pm y) &=& \cfrac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)} \\
\end{array}

Dubbele hoek-identiteiten[bewerken]

\begin{array}{rcl}
 \sin(2x) &=& 2 \sin (x) \cos(x) \\
 \cos(2x) &=& \cos^2(x) - \sin^2(x)
  = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x) \\
 \tan(2x) &=& \cfrac{2 \tan (x)} {1 - \tan^2(x)} \\
\end{array}

Derde hoek regel[bewerken]

\begin{array}{rcl}
 \sin(3x) &=& 3 \sin(x) - 4 \sin^3(x) \\
 \cos(3x) &=& 4 \cos^3(x) - 3 \cos(x) \\
 \tan(3x) &=& \cfrac{3 \tan(x) - \tan^3(x)}{1 - 3 \tan^2 x} \\ \\
\end{array}

Machtsreductie-formules (formules van Carnot)[bewerken]

\begin{array}{ccl}
 \cos^2 x &=& \cfrac{1 + \cos(2x)}{2} \\
 \sin^2 x &=& \cfrac{1 - \cos(2x)}{2} \\
 \sin^2 x \cos^2 x &=& \cfrac{1 - \cos(4x)}{8} \\
\end{array}

T-formules[bewerken]

Met de t-formules, zo genoemd vanwege de substitutie:

t = \tan(\tfrac 12 x)\,

zijn vergelijkingen met goniometrische identiteiten in x op te lossen door ze eerst te schrijven als functie van t en later weer terug te transformeren naar x. Er geldt:

\tan (x) = \frac{2t}{1 - t^2}
\cos (x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}
\sin (x) = \frac{2t}{1 + t^2}

Halve hoek-identiteiten[bewerken]

\begin{array}{rcl}
 \cos\left(\tfrac12 x\right) &=&  \pm\, \sqrt{\cfrac{1 + \cos x}{2}} \\
 \sin\left(\tfrac12 x\right) &=&  \pm\, \sqrt{\cfrac{1 - \cos x}{2}} \\
 \tan\left(\tfrac12 x\right) &=& \cfrac{\sin (\tfrac12 x)}{\cos (\tfrac12 x)} = \pm\, \sqrt{\cfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} \\
 \tan\left(\tfrac12 x\right) &=& \pm\, \sqrt{\cfrac{(1 - \cos x) (1 - \cos x)}{(1 + \cos x) (1 - \cos x)}} = \pm\, \sqrt{\cfrac{(1 - \cos x)^2}{(1 - \cos^2 x)}} \\
 \tan\left(\tfrac12 x\right) &=& \cfrac{\sin x}{1 + \cos x} = \cfrac{1-\cos x}{\sin x} \\
\end{array}

Som-naar-product-identiteiten (regels van Simpson of formules van Mollweide)[bewerken]

\begin{array}{ccrrr}
 \sin(x) + \sin(y) &=&  2 &\sin \cfrac{x + y}{2} &\cos \cfrac{x - y}{2} \\
 \sin(x) - \sin(y) &=&  2 &\cos \cfrac{x + y}{2} &\sin \cfrac{x - y}{2} \\
 \cos(x) + \cos(y) &=&  2 &\cos \cfrac{x + y}{2} &\cos \cfrac{x - y}{2} \\
 \cos(x) - \cos(y) &=& -2 &\sin \cfrac{x + y}{2} &\sin \cfrac{x - y}{2} \\
\end{array}

Product-naar-som-identiteiten (omgekeerde regels van Simpson)[bewerken]

\begin{array}{ccc}
 \cos(x) \cos(y) &=& \cfrac{\cos(x + y) + \cos(x - y)}{2} \\
 \sin(x) \sin(y) &=& \cfrac{\cos(x - y) - \cos(x + y)}{2} \\
 \sin(x) \cos(y) &=& \cfrac{\sin(x + y) + \sin(x - y)}{2} \\
\end{array}