Lijst van integralen

Integreren is een basisbewerking uit de analyse. Aangezien integreren niet, zoals bij differentiëren, door eenvoudige regels plaatsvindt, zijn tabellen met veel voorkomende integralen een handig hulpmiddel.

In de onderstaande lijst van integralen is C steeds een integratieconstante die enkel met bijkomende informatie, beginvoorwaarde of randvoorwaarde, bepaald kan worden. Voor meer uitgebreide lijsten, zie onderstaande artikelen:

• Lijst van integralen van rationale functies
• Lijst van integralen van irrationale functies
• Lijst van integralen van exponentiële functies
• Lijst van integralen van logaritmische functies
• Lijst van integralen van goniometrische functies
• Lijst van integralen van inverse goniometrische functies
• Lijst van integralen van hyperbolische functies
• Lijst van integralen van inverse hyperbolische functies

Rekenregels bij het integreren

• Lineariteit van een integraal:

$\int cf(x)\,\operatorname{d}x = c\int f(x)\,dx$

$\int (f(x) + g(x))\,\operatorname{d}x = \int f(x)\,\operatorname{d}x + \int g(x)\,\operatorname{d}x$

• Partiële integratie

$\int f(x)g'(x)\,\operatorname{d}x = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,\operatorname{d}x$

• Bepaalde integraal

$\int _a ^b \frac{\operatorname{d}F(x)}{\operatorname{d}x}\,\operatorname{d}x = [F(x)] _a ^b = F(b)-F(a)$

• Meervoudige integraal als herhaalde integraal

$\iint f(x,y)\,\operatorname{d}x\operatorname{d}y= \int \left(\int f(x,y)\,\operatorname{d}x\right)\operatorname{d}y$

• Integratie door substitutie

$\int f(g(t))\,g'(t)\,\operatorname{d}t=\int f(x)\,\operatorname{d}x$

Integralen van standaardfuncties

Rationale functies

$\int 1\,{\rm d}x = x + C$

$\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ als }n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}\,{\rm d}x = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}\,{\rm d}x = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C$

$\int \frac{1}{x\left(a+bx\right)}\,{\rm d}x = \frac{1}{a}\ln\left|\frac{x}{a+bx}\right| + C$

$\int \frac{1}{ax^2+bx+c}\,{\rm d}x = \left\{ \begin{matrix} \cfrac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\left|\cfrac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right| + C & \mbox{als}\ b^2>4ac \\ \cfrac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\cfrac{2ax-b}{\sqrt{4ac-b^2}} + C & \mbox{als}\ b^2<4ac \end{matrix}\right.$

$\int \frac{x}{ax^2+bx+c}\,{\rm d}x = \frac{1}{2a}\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac{b}{2a}\int \frac{1}{ax^2+bx+c}\,{\rm d}x$

Logaritmes

$\int \ln {x}\,{\rm d}x = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,{\rm d}x = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

$\int x^n\ln ax\,{\rm d}x = x^{n+1}\left(\frac{\ln ax}{n+1}-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+C$

$\int x^n\left(\ln ax\right)^m\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln ax\right)^m-\frac{m}{n+1}\int x^n\left(\ln ax\right)^{m-1}\,{\rm d}x$

Exponentiële functies

$\int e^x\,{\rm d}x = e^x + C$

$\int a^x\,{\rm d}x = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

$\int e^{ax}\,{\rm d}x = \frac{e^{ax}}{a}+ C$

$\int x^ne^{ax}\,{\rm d}x = \frac{x^ne^{ax}}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}e^{ax}\,{\rm d}x$

Irrationale functies

$\int {\operatorname{d}u \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin {u \over a} + C$

$\int {-\operatorname{d}u \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arccos {u \over a} + C$

$\int {\operatorname{d}u \over u\sqrt{u^2-a^2}} = {1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|u| \over a} + C$

$\int \sqrt{a^2-x^2}\,{\rm d}x = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C ,(a>0)$

$\int \left(a^2-x^2\right)^{\frac{3}{2}}\,{\rm d}x = \frac{x}{8}\left(5a^2-2x^2\right)\sqrt{a^2-x^2}+\frac{3a^4}{8}\arcsin\frac{x}{a} + C,(a>0)$

$\int \frac{1}{\left(a^2-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}\,{\rm d}x = \frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}} + C$

$\int x\sqrt{a+bx}\,{\rm d}x = \frac{2\left(3bx-2a\right)\left(a+bx\right)^{\frac{3}{2}}}{15b^2} + C$

$\int \frac{\sqrt{a+bx}}{x}\,{\rm d}x = 2\sqrt{a+bx}+a\int \frac{1}{x\sqrt{a+bx}}\,{\rm d}x$

$\int \frac{x}{\sqrt{a+bx}}\,{\rm d}x = \frac{2\left(bx-2a\right)\sqrt{a+bx}}{3b^2}+C$

$\int \frac{1}{x\sqrt{a+bx}}\,{\rm d}x = \frac{1}{\sqrt{a}}\ln\left|\frac{\sqrt{a+bx}-\sqrt{a}}{\sqrt{a+bx}+\sqrt{a}}\right|+C,(a>0)$

$\int \frac{1}{x\sqrt{a+bx}}\,{\rm d}x = \frac{2}{\sqrt{-a}}\arctan\left|\sqrt{\frac{a+bx}{-a}}\right|+C,(a<0)$

$\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\,{\rm d}x = \sqrt{a^2-x^2}-a\ln\left|\frac{a+\sqrt{a^2+x^2}}{x}\right|+C$

$\int x\sqrt{a^2-x^2}\,{\rm d}x = -\frac{1}{3}\left(a^2-x^2\right)^{\frac{3}{2}}+C$

$\int x^2\sqrt{a^2-x^2}\,{\rm d}x = \frac{x}{8}\left(2x^2-a^2\right)\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^4}{8}\arcsin\frac{x}{a}+C,(a>0)$

$\int \frac{1}{x\sqrt{a^2-x^2}}\,{\rm d}x = -\frac{1}{a}\ln\left|\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}\right|+C$

$\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\,{\rm d}x = -\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\,{\rm d}x = -\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C,(a>0)$

$\int \frac{\sqrt{x^2+a^2}}{x}\,{\rm d}x = \sqrt{x^2+a^2}-a\ln\left|\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right|+C$

$\int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}\,{\rm d}x = \sqrt{x^2-a^2}-a\arccos\frac{a}{|x|}+C,(a>0)$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}}\,{\rm d}x = \frac{x\sqrt{x^2+a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$

$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+a^2}}\,{\rm d}x = \frac{1}{a}\ln\left|\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\right|+C$

$\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2\pm a^2}}\,{\rm d}x = \mp\frac{\sqrt{x^2\pm a^2}}{a^2x}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,{\rm d}x = \ln\left|\frac{x+\sqrt{x^2\pm a^2}}{a}\right|+C =\operatorname{arcsinh}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,{\rm d}x = \frac{1}{\sqrt{a}}\ln\left|2ax+b+2\sqrt{a}\sqrt{ax^2+bx+c}\right|+C,(a>0)$

$\int \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,{\rm d}x = \frac{1}{\sqrt{-a}}\arcsin\frac{-2ax-b}{\sqrt{b^2-4ac}}+C,(a<0)$

$\int \sqrt{ax^2+bx+c}\,{\rm d}x = \frac{2ax+b}{4a}\sqrt{ax^2+bx+c}+\frac{4ac-b^2}{8a}\int \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,{\rm d}x$

$\int \frac{x}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,{\rm d}x = \frac{\sqrt{ax^2+bx+c}}{a}-\frac{b}{2a}\int \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,{\rm d}x$

$\int \frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}\,{\rm d}x = \frac{-1}{\sqrt{c}}\ln\left|\frac{2\sqrt{c}\sqrt{ax^2+bx+c}+bx+2c}{x}\right|+C,(c>0)$

$\int \frac{1}{x\sqrt{ax^2+bx+c}}\,{\rm d}x = \frac{1}{\sqrt{-c}}\arcsin\frac{bx+2c}{|x|\sqrt{b^2-4ac}}+C,(c<0)$

$\int x^3\sqrt{x^2+a^2}\,{\rm d}x = \left(\frac{1}{5}x^2-\frac{2}{15}a^2\right)\sqrt{\left(x^2+x^2\right)^3}+C$

$\int \frac{\sqrt{x^2\pm a^2}}{x^4}\,{\rm d}x = \frac{\mp \sqrt{\left(x^2+a^2\right)^3}}{3a^2x^3}+C$

Goniometrische functies

$\int \sin{x}\, {\rm d}x = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, {\rm d}x = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, {\rm d}x = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, {\rm d}x = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, {\rm d}x = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, {\rm d}x = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \frac{1}{\sin x}\,{\rm d}x = \ln\left|\tan\tfrac12 x\right|+C = \ln\left|\frac{1}{\sin x}-\cot x\right|+C$

$\int \frac{1}{\cos x}\,{\rm d}x = \ln\left|\tan\tfrac12 x+\tfrac14\pi\right|+C = \ln\left|\frac{1}{\cos x}+\tan x\right|+C$

$\int \arcsin{\frac{x}{a}}\, {\rm d}x = x\arcsin{\frac{x}{a}}+\sqrt{a^2-x^2} + C,(a>0)$

$\int \arccos{\frac{x}{a}}\, {\rm d}x = x\arccos{\frac{x}{a}}-\sqrt{a^2-x^2} + C,(a>0)$

$\int \arctan{\frac{x}{a}}\, {\rm d}x = x\arctan{\frac{x}{a}}-\frac{a}{2}\ln\left(a^2+x^2\right)+C ,(a>0)$

$\int \frac{1}{\cos^2 x} \, {\rm d}x = \int \sec^2 x \, {\rm d}x = \tan x + C$

$\int \frac{1}{\sin^2 x} \, {\rm d}x = \int \csc^2 x \, {\rm d}x = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, {\rm d}x = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, {\rm d}x = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, {\rm d}x = \tfrac12(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, {\rm d}x = \tfrac12(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sin^n x \, {\rm d}x = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, {\rm d}x$

$\int \cos^n x \, {\rm d}x = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, {\rm d}x$

$\int \tan^n x \, {\rm d}x = \frac{\tan^{n-1}x}{n-1}-\int\tan^{n-2}x \, {\rm d}x ,(n\neq1)$

$\int \cot^n x \, {\rm d}x = -\frac{\cot^{n-1}x}{n-1}-\int \cot^{n-2}x \, {\rm d}x ,(n\neq1)$

$\int \sec^n x \, {\rm d}x = \frac{\tan x\sec^{n-2}x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}x \, {\rm d}x,(n\neq1)$

$\int \csc^n x \, {\rm d}x = -\frac{\cot x\csc^{n-2}x}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}x \, {\rm d}x,(n\neq1)$

$\int \sin ax\sin bx\,{\rm d}x = \frac{\sin(a-b)x}{2(a-b)}-\frac{\sin(a+b)x}{2(a+b)}+C,(a^2\neq b^2)$

$\int \sin ax\cos bx\,{\rm d}x = -\frac{\cos(a-b)x}{2(a-b)}-\frac{\cos(a+b)x}{2(a+b)}+C,(a^2\neq b^2)$

$\int \cos ax\cos bx\,{\rm d}x = \frac{\sin(a-b)x}{2(a-b)}-\frac{\sin(a+b)x}{2(a+b)}+C,(a^2\neq b^2)$

$\int \sec x\tan x\,{\rm d}x = \sec x+C$

$\int \csc x\cot x\,{\rm d}x = -\csc x+C$

$\int \cos^mx\sin^nx\,{\rm d}x = \frac{\cos^{m-1}x\sin^{n+1}x}{m+n}+\frac{m-1}{m+n}\int \cos^{m-2}x\sin^nx\,{\rm d}x$

$=-\frac{\sin^{n-1}x\cos^{m+1}x}{m+n}+\frac{n-1}{m+n}\int \cos^mx\sin^{n-2}x\,{\rm d}x$

$\int x^n\sin ax\,{\rm d}x = -\frac{1}{a}x^n\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\,{\rm d}x$

$\int x^n\cos ax\,{\rm d}x = \frac{1}{a}x^n\sin ax -\frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\,{\rm d}x$

$\int e^{ax}\sin bx\,{\rm d}x = \frac{e^{ax}\left(a\sin bx-b\cos bx\right)}{a^2+b^2}+C$

$\int e^{ax}\cos bx\,{\rm d}x = \frac{e^{ax}\left(b\sin bx+a\cos bx\right)}{a^2+b^2}+C$

Hyperbolische functies

$\int \sinh x \, {\rm d}x = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, {\rm d}x = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, {\rm d}x = \ln |\cosh x| + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, {\rm d}x = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, {\rm d}x = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, {\rm d}x = \ln|\sinh x| + C$

$\int \sinh^2 x \, {\rm d}x = \frac{1}{4}\sinh 2x-\frac{1}{2}x + C$

$\int \cosh^2 x \, {\rm d}x = \frac{1}{4}\sinh 2x+\frac{1}{2}x + C$

$\int \mbox{sech}^2 x \, {\rm d}x = \tanh x + C$

$\int \sinh^{-1}\frac{x}{a} \, {\rm d}x = x\sinh^{-1}\frac{x}{a}-\sqrt{x^2+a^2} + C$

$\int \cosh^{-1}\frac{x}{a} \, {\rm d}x = x\cosh^{-1}\frac{x}{a}-\sqrt{x^2-a^2} + C \left(\cosh^{-1}\frac{x}{a}>0,a>0\right)$

$\int \cosh^{-1}\frac{x}{a} \, {\rm d}x = x\cosh^{-1}\frac{x}{a}+\sqrt{x^2-a^2} + C \left(\cosh^{-1}\frac{x}{a}<0,a>0\right)$

$\int \tanh^{-1}\frac{x}{a} \, {\rm d}x = x\tanh^{-1}\frac{x}{a}+\frac{a}{2}\ln\left|a^2-x^2\right|+C$

$\int \mbox{sech}x\tanh x\,{\rm d}x = -\mbox{sech}x+C$

$\int \mbox{csch}x\coth x\,{\rm d}x = -\mbox{csch}x+C$

Oneigenlijke integralen

Voor sommige functies kan de primitieve functie niet in gesloten vorm gevonden worden, maar is de waarde van de integraal over een oneindig integratiegebied wel bekend, omdat die op een andere manier berekend kan worden.

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,{\rm d}x} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{e^{-x^2}\,{\rm d}x} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,{\rm d}x} = \frac{\pi^2}{6}$

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,{\rm d}x} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,{\rm d}x=\frac{\pi}{2}$