Lineair omhulsel

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is, als W een verzameling vectoren binnen een vectorruimte V is, het lineair omhulsel of lineair opspansel van W de doorsnede van alle lineaire deelruimtes van V die W bevatten. Het is zelf ook een lineaire deelruimte. Het is de verzameling van alle eindige lineaire combinaties van de vectoren uit W.

Men noteert het lineair omhulsel van de W als span(W), afgeleid van de Engelse benaming linear span. De vectoren in W worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

Definitie[bewerken]

Het lineair omhulsel span(S) van een deelverzameling S van een vectorruimte V is de kleinste deelruimte van V die S omvat, dus

S \subseteq D \subseteq V\ {\rm en}\ D\ {\rm lineaire\ ruimte}\ \Leftrightarrow {\rm span}(S) \subseteq D

Lineair omhulsel van een eindige verzameling vectoren[bewerken]

Zij V een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) K, dan is het lineair omhulsel van de vectoren v1,...,vn in V, de deelruimte

\mathrm{span}(v_1 ,\ldots, v_n) = \{ a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n : a_1 ,\ldots, a_n \in K \}.

Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren v1,...,vn als span(v1,...,vn). Andere notaties zijn <v1,...,vn> en [v1,...,vn].

Lineair omhulsel van een oneindige verzameling vectoren[bewerken]

Zij V een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) K, dan is het lineair omhulsel van W \sub V, de deelruimte die bestaat uit de eindige lineaire combinaties van deze vectoren.

\mathrm{span}(W) = \{ a_1 w_1 + \ldots + a_n w_n: n \in \N, w_1,\ldots , w_n \in W, a_1 ,\ldots, a_n \in K \}.

Bijzondere gevallen[bewerken]

In het bijzonder geldt:

  • \mathrm{span}(\varnothing) = \{0\}
  • een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf

Verdere eigenschappen[bewerken]

Als een stelsel vectoren S onafhankelijk is, dan is S een basis van de voortgebrachte deelruimte U.
Meer algemeen geldt: als de vectorruimte U wordt voortgebracht door het stelsel S, dan bevat S een basis van U.

De ruimte U blijft het lineair omhulsel van S

  • als men aan S een vector uit U toevoegt.
  • als men een vector uit S, welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit S, verplaatst naar U \ S.
  • als men in S een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair).
  • als men bij een vector uit S, een andere vector uit S optelt.