Lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is een differentiaalvergelijking die in de vorm:

\frac{dy}{dx} \, + \, p(x).y \, = \, q(x)

kan geschreven worden. Een mogelijke oplossingsmethode bestaat uit het omvormen tot twee differentiaalvergelijkingen die elk apart worden opgelost met de methode van scheiden van veranderlijken. Indien p(x) en q(x) beiden constant zijn heeft men een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten van eerste orde.

Oplossingsmethode[bewerken]

De oplossingsmethode kan op diverse manieren beschreven worden. Stel eerst de oplossing y gelijk aan het product van twee andere te zoeken functies u en v :

y \, = \, u(x).v(x) \!

zodat:

u \, \frac{dv}{dx} \, + \, v \, \frac{du}{dx} \, + \, p(x).u.v \, = \, q(x)

Door de termen in u samen te nemen vindt men:

u \, [ \frac{dv}{dx} \, + \, p(x).v] \, + \, v \, \frac{du}{dx} \, = \, q(x)

Nu wordt eerst het gedeelte tussen de vierkante haken gelijk gesteld aan nul, en opgelost. Dit is mogelijk indien de integraal van p(x) kan gevonden worden. Immers:

\frac{dv/dx}{v} \, = \, - \, p(x)

zodat na integratie:

v(x) \, = \, e^{-\int p(x)dx}

Door deze oplossing van v(x) in te vullen in de differentiaalvergelijking met u en v verdwijnt het gedeelte tussen de vierkante haken want v(x) is immers zodanig bepaald dat dit gedeelte nul is. Het is bij deze integraal niet nodig een willekeurige integratieconstante toe te voegen. Het blijkt dat deze verder in de berekening weer verdwijnt. Er blijft dan nog over:

v \,\frac{du}{dx} \, = \, q(x)

met v gekend, zodat hieruit u(x) wordt gevonden. De algemene oplossing is dan een impliciete functie gegeven door:

y \, = \,u(x).v(x) \!

Het oplossen komt dus in feite neer op tweemaal de techniek voor scheiden van veranderlijken te gebruiken, eenmaal voor v, een tweede maal voor u.

Voorbeeld[bewerken]

De differentiaalvergelijking:

\frac{dy}{dx} \, - \, \frac{3}{x}\,y \, = \, x^4

is lineair van eerste orde. Stel dus y =u.v zodat :

u \,[\frac{dv}{dx} \, - \, \frac{3}{x}\,v] \, + \, v \,\frac{du}{dx} \, = \, x^4

Het gedeelte tussen de vierkante haken heeft als oplossing:

v \, = x^3 \!

zodat nog overblijft:

\frac{du}{dx} \, = \, x \!

of:

u \, =\, \frac{x^2}{2} \, + \, K

De algemene oplossing is dus:

y \, = \, (\frac{x^2}{2} \, + \, K) \, x^3

Alternatieve vorm[bewerken]

Indien een eerste orde differentiaalvergelijking kan herschreven worden in de vorm:

\frac{dx}{dy} \, + \, p(y).x \, = \, q(y)

kan deze techniek ook worden toegepast door gewoon de rol van x en y om te wisselen.

Zie ook[bewerken]