Liouville-functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De Liouville-functie, aangeduid met λ(n) en vernoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, is een belangrijke functie in de getaltheorie .

Als n een positief geheel getal is, dan wordt λ(n) gedefinieerd als:

\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)},\,\!

waar Ω(n) het aantal priemfactoren van n is, geteld door gebruik te maken van (rij A008836 in OEIS). Per definitie is λ(1)=1.

Meervoudige factoren worden in Ω(n) ook meervoudig geteld; bijvoorbeeld: Ω(12) is 3, want 12 = 2x2x3 en de priemdeler 2 wordt tweemaal geteld. Dus is de waarde van de Liouville-functie van 12 gelijk aan (-1)3 = -1. Ω(13)=1 omdat 13 een priemgetal is, en dus is λ(13)= -1, zoals voor alle priemgetallen overigens.

λ(n) is gelijk aan -1 als n een oneven aantal priemdelers (meervoudig geteld) heeft; λ(n) = 1 als n een even aantal priemdelers heeft.

Verband met de Riemann-zèta-functie[bewerken]

De Riemann-zèta-functie ζ(s), waarin s een complex getal is met reëel deel > 1, wordt gedefinieerd als:

\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ priem}} \frac{1}{1-p^{-s}}

Hieruit volgt de volgende gelijkheid:

\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \prod_{p \text{ priem}} \frac{1}{1+p^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.

Sommering[bewerken]

Grafiek van L(n) tot 107. In dit gebied is het vermoeden van Pólya nog geldig.

Stel: L(n)=\sum_{k=1}^n \lambda(k). Dit is dus de som van de waarden van de Liouville-functie van 1 tot en met n.

L(n) geeft het verschil aan tussen het aantal getallen van 1 tot en met n met een even aantal priemdelers en het aantal met een oneven aantal priemdelers.

George Pólya formuleerde in 1919 het vermoeden, dat L(n) ≤ 0 voor alle n ≥ 2.[1] Dit vermoeden is later echter ontkracht; C.B. Haselgrove bewees in 1958 dat er oneindig veel gehele getallen x zijn waarvoor L(x) > 0 is.[2] Het kleinste getal waarvoor het vermoeden van Pólya niet geldt, blijkt 906150257 te zijn.[3]

L kan zeer grote negatieve en positieve waarden aannemen; zo berekenden Borwein, Ferguson en Mossinghoff met een computercluster van dual-core PowerMac G5s dat L(176064978093269) = -17555181 en L(351753358289465)=1160327.[4] Het is echter nog een open vraag, of L(n) al dan niet een oneindig aantal malen van teken verandert.

Een verwante som is

M(n)=\sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}k.

Hiervan werd aanvankelijk vermoed, dat M(n) vanaf een voldoend grote n, steeds positief is. Als dat waar zou zijn, zou hieruit de Riemann-hypothese volgen. Maar in 1958 bewees Haselgrove, dat er oneindig veel getallen zijn waarvoor M(n) negatief is.[2]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Pólya, G. (1919). Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28: 31–40 .
  2. a b Haselgrove, C.B. (1958). A disproof of a conjecture of Pólya. Mathematika 5: 141–145 . DOI:10.1112/S0025579300001480.
  3. Tanaka, M. (1980). A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3 (1): 187–189 . DOI:10.3836/tjm/1270216093.
  4. Peter Borwein, Ron Ferguson, Michael J. Mossinghoff. Sign changes in sums of the Liouville function. Mathematics of Computation (pre-publicatie)