Logaritmische schaal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Grootheden als lengte, massa, tijdsduur worden uitgedrukt in eenheden. Door meting wordt vastgesteld welk veelvoud de grootheid van de eenheid is. Als we voor een lengte aangeven L = 3,2 m, dan gebruiken we de eenheid meter (m), en geven aan dat de numerieke waarde 3,2 is, wat inhoudt dat de lengte L 3,2 keer de eenheid is. We kunnen ook schrijven L/m = 3,2.

Bij een logaritmische schaal wordt niet de numerieke waarde zelf, maar een logaritme van deze verhouding gegeven. In plaats van eenheid spreekt men meestal van referentiewaarde. De grootheid G wordt niet direct als een veelvoud van de referentiewaarde G0, de eenheid, uitgedrukt, maar als een bepaald niveau hierboven:

"niveau van" G = \log_a\left(\frac{G}{G_0}\right).

Zo wordt bij de bel-schaal voor het geluidsniveau de gehoordrempel als referentiewaarde met niveau 0 gebruikt, en wordt het getal 10 als het grondtal van de logaritme gebruikt. Een geluidsniveau van 4,5 bel betekent dus een geluidsintensiteit van 104,5 = 31623 keer zo sterk als de gehoordrempel. De aanduiding bel wordt wel gehanteerd als pseudoeenheid. Daaruit is de meer gebruikelijke decibelschaal met pseudoeenheid decibel (dB) ontstaan. Een niveau van 45 dB komt dan overeen met 4,5 bel. Eigenlijk hanteert de decibelschaal als referentiewaarde, net als de bel-schaal, de gehoordrempel, maar als grondtal van de gebruikte logaritme het getal 100,1 = 1,258925... Wordt de natuurlijke logaritme gebruikt, dan spreekt men van Neper-schaal. Andere logaritmische schalen zijn onder meer:

Logaritmische schalen geven relatieve veranderingen weer. Stijgt een grootheid G relatief met 10%, dan is de nieuwe waarde 1,10 G. Op een logaritmische schaal betekent deze stijging een toename van

\!\,\log (G/G_0)

tot

\!\,\log (1{,}10\ G/G_0) = \log (G/G_0)+\log (1{,}10),

dus een toename met \log{(1{,}10)}, ongeacht het uitgangsniveau. Omdat veel zintuiglijke waarnemingen gelijke relatieve toenamen als gelijk ervaren (wet van Weber), zijn logaritmische schalen een geschikt middel om grootheden zo uit te drukken dat hun waarden met onze ervaring overeenkomen. Ook anderszins is het soms handiger om gelijke factoren in toename weer te geven als gelijke toename in niveau. Verdubbeling van waarde betekent in dB-schaal een toename van niveau met ca. 3,01 dB (immers 2=10^{3{,}01/10}).

Wanneer de logaritme met het grondtal 10 wordt gebruikt (10log), dan is elke stap ter grootte 1 op de schaal 10 keer zo groot als de vorige.
Een schaal van 1, 2, 3 betekent dus in waarden: 10, 100, 1000.

Grafische weergave[bewerken]

Het elektromagnetisch spectrum als voorbeeld van een logaritmische schaal met een groot aantal decaden.

Bij de grafische weergave van bepaalde grootheden wordt soms een logaritmische schaal gehanteerd. De betrokken as heeft dan niet de gebruikelijke schaalverdeling van de getallenrechte, maar een logaritmische verdeling met posities die overeenkomen met de logaritmen van de waarden van het positieve gedeelte van de getallenlijn. Elke decade heeft dus dezelfde lengte, en twee getallen met een bepaald relatief verschil (bijvoorbeeld de werkelijke waarde en de benadering in het geval van een bepaalde relatieve fout) worden op een afstand van elkaar weergegeven die verder niet afhankelijk is van de grootte van de getallen.

Een reden om deze schaal te gebruiken kan zijn dat men voor een decade van kleine getallen evenveel ruimte wil inruimen als voor een met grote getallen, omdat er anders, gegeven de beschikbare ruimte, voor de kleine getallen veel te weinig ruimte is om relevante details weer te geven, maar men wel kiest voor een wiskundig gelijkmatige schaal om de vertekening te voorkomen die men krijgt als men in een bepaalde toepassing de grootte van weergave van ieder getalbereik helemaal laat bepalen door de benodigde ruimte.

Bij een rekenliniaal worden logaritmische schalen met één, twee en soms drie decaden gebruikt.

In grafieken kan voor één of beide assen een logaritmische schaal gebruikt worden (zie ook logaritmisch papier en dubbellogaritmisch papier). Naast de algemene redenen van het gebruik van zo'n schaal kan dan meespelen dat de grafieken van bepaalde functies rechte lijnen worden: een constante plus de logaritme van x met enig grondtal (de logaritme met enig grondtal van een positieve constante maal x) als de x-as een logaritmische schaal heeft, exponentiële functies met positieve coëfficiënt als de y-as een logaritmische schaal heeft, en een macht met een positieve coëfficiënt als beide zo'n schaal hebben.

Een loglogschaal plaatst een getal x op een positie evenredig met log log x, een verschuiving van een bepaalde afstand op die schaal correspondeert met verheffing tot een macht. Dit wordt gebruikt voor machtsverheffen met een rekenliniaal. De schaal bevat alle getallen groter dan 1.