Lokaal compacte ruimte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, zegt men dat een topologische ruimte lokaal compact is als ieder punt van de topologische ruimte een omgevingenbasis heeft die uit compacte verzamelingen bestaat.

Formeler: een topologische ruimte (X,\mathcal{T}) noemt men lokaal compact als

\forall U\in\mathcal{T},\forall x\in U,\exists\hbox{ compact }K\subset U:x\in K^\circ

Eigenschappen[bewerken]

Elk lokaal compacte preregelmatige ruimte is in feite volledig regelmatig. Hieruit volgt dat elke lokale compacte Hausdorff-ruimte een Tychonov-ruimte is. Aangezien standaard regelmaat een meer vertrouwde conditie is dan ofwel preregelmatigheid (die meestal zwakker is) of volledige regelmatigheid (die meestal sterker is), wordt aan lokale compacte preregelmatige ruimten in de wiskundige literatuur normaal gerefereerd als lokale compacte regelmatige ruimten. Op gelijkaardige wijze wordt aan compacte Tychonov-ruimten meestal gerefereeds als lokaal compacte Hausdorff-ruimten.

Elk lokaal compacte Hausdorff-ruimte is een Baire-ruimte. Dat wil zeggen dat de conclusie van de categoriestelling van Baire van toepassing is: het inwendige van elke vereniging van aftelbaar vele nergens dichte deelverzamelingen is leeg.

Een deelruimte X van een lokaal compacte Hausdorff-ruimte Y is dan en slechts dan lokaal compact als X kan worden geschreven als het verzamelingtheoretische verschil van twee gesloten deelverzamelingen van Y. Als een corollarium daarvan is een dichte deelruimte X van een lokaal compacte Hausdorff-ruimte Y dan en slechts dan lokaal compact als X een open deelverzameling van Y is. Wanneer bovendien een deelruimte X van enige Hausdorff-ruimte Y lokaal compact is, dan moet X nog steeds het verschil van twee gesloten deelverzamelingen van Y zijn, hoewel de converse in dit geval niet hoeft op te gaan.

Quotient-ruimten van lokaal compacte Hausdorff-ruimten noemt men compact gegenereerd. Omgekeerd geldt dat elke compact gegenereerde Hausdorff-ruimte een quotiënt is van enige lokaal compacte Hausdorff-ruimte.

Voor lokaal compacte ruimten betekent lokaal uniforme convergentie hetzelfde als compacte convergentie betekent voor compacte ruimten.