Lokale zèta-functie

Stel dat V een niet-singuliere n-dimensionale projectieve algebraïsche variëteit is over het veld F_q met q elementen. In de getaltheorie wordt de lokale zèta-functie Z(V, s) van V (soms ook de congruente zètafunctie genoemd) gedefinieerd als

$Z(V,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}(q^{-s})^{m}\right)$

waar N_m het aantal punten van V is, dat gedefinieerd is over de graad m met uitbreiding F_q^m van F_q.

Door de variabele transformatie $u=q^{-s}$ wordt het gedefinieerd door

${\mathit {Z}}(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}{\frac {u^{m}}{m}}\right)$

als de formele machtreeksen van de variabele u.

Equivalent wordt de lokale zèta-functie soms gedefinieerd als:

$(1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,$

$(2)\ \ {\frac {d}{du}}\log {\mathit {Z}}(V,u)=\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}u^{m-1}\ .$

Met andere woorden wordt de lokale zèta-functie Z(v,u) met coëfficiënten in het eindige veld F gedefinieerd als een functie waarvan de logaritmische afgeleide de getallen N_m van de oplossingen van de vergelijking genereert, daarbij V in de m-e graad uitbreiding F_m definiërend.