Loxodroom

Voorbeeld van een van pool tot pool lopende loxodroom

Een loxodroom is in navigatie een lijn over het aardoppervlak die met alle meridianen een gelijke hoek maakt. De koers op deze lijn blijft gelijk.

De naam loxodroom komt van het Griekse loxos : schuin + dromos : loop (van dramein : lopen).

Als je m.b.v. een magnetisch kompas of gyroscopisch kompas een bepaalde koers zou aanhouden, dan volg je een loxodroom. Dergelijke kromme nadert de polen spiraalvormig, zonder hen ooit te bereiken. Dit geldt niet voor de koersen 0º en 180º waarbij een meridiaan direct gevolgd wordt en die derhalve door de polen gaan. Evenmin geldt dit voor 90º en 270º, waarbij een parallel gevolgd wordt en men zich dus op constante afstand van de polen beweegt.

Kaartprojecties

Dicht bij de polen benaderen ze een logaritmische spiraal (op een stereografische projectie exact). Ze cirkelen dus een oneindig aantal keren rond de pool, maar bereiken deze in een eindige afstand. Uitgaande van een perfecte bol is de lengte van een loxodroom de lengte van de meridiaan gedeeld door de cosinus van de hoek tot het ware noorden. Loxodromen zijn ongedefinieerd aan de polen.

Op een kaart die gebruik maakt van de mercatorprojectie worden loxodromen weergegeven als rechte lijnen. Grootcirkels worden hier als gebogen lijnen weergegeven, terwijl dit op een bol juist rechte lijnen zijn. De bolling is naar de polen gericht. Op een mercatorkaart lijkt de grootcirkel dus een omweg, terwijl dit de kortste verbinding tussen twee punten op aarde is.

Op een kaart gebaseerd op stereografische projectie is een loxodroom een logaritmische spiraal waarvan het centrum de noordpool of zuidpool is.

Vergelijkingen

De positie op een bol wordt vastgelegd door de coördinaten φ (breedtegraad) en λ (lengtegraad). Bij een verandering (dλ,dφ) hoort de verplaatsing (Rcos(φ)dλ,Rdφ) (met R de straal van de bol). Een koers (azimut) α geeft de vergelijking: (cos(φ)dλ/dφ = tan(α)). Voor een loxodroom door (λ₀,φ₀) is de oplossing:

  $\lambda -\lambda_0 =\tan(\alpha)(\operatorname{arcgd}(\phi)-\operatorname{arcgd}(\phi_0))$

De functie $\operatorname{arcgd}(\phi)={\rm gd}^{-1}(\phi)\,\!$ is de inverse Gudermannfunctie of hyperbolische amplitude en is verwant aan de vergrotende breedte die in de zeevaart veel gebruikt werd. Deze is gelijk aan de primitieve functie van de secans en wordt op verschillende manieren uitgedrukt:

$\operatorname{arcgd}(\phi)\, = \int \sec(\phi)d\phi = \operatorname{arccosh}(\sec\phi) = \ln\left(\tan\left({\tfrac14 \pi} + {\tfrac12 \phi}\right)\right)$

De loxodroom naar een tweede punt (λ₁,φ₁) kan grafisch gevonden worden op een mercatorkaart of door (met behulp van de vergelijking) de koers (α) te berekenen. Er zijn ook oplossingen mogelijk waarbij de loxodroom de verkeerde kant op loopt of extra rondjes maakt.

De afstand tussen twee punten, gemeten over de loxodroom, is de absolute waarde van de secans van de koers vermenigvuldigd met de noord-zuid afstand (afgezien van de koersen 90º en 270º).

Externe links

• (en) Mathematics Magazine, J Alexander. Loxodromes: A Rhumb Way to Go (PDF) (5 december 2004).