Möbiusfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De klassieke Möbiusfunctie μ(n) is een belangrijke multiplicatieve functie in getaltheorie en combinatoriek. Het is vernoemd naar de Duitse wiskundige August Ferdinand Möbius, door wie deze functie werd geïntroduceerd in 1831.

Definitie[bewerken]

μ(n) is gedefinieerd voor alle strikt positieve natuurlijke getallen n en kan waardes aannemen in {-1, 0, 1} afhankelijk van de factorisatie van n in priemfactoren. De functie is als volgt gedefinieerd:

  • μ(n) = 1 als n een positief kwadraatvrij geheel getal is met een even aantal verschillende priemfactoren.
  • μ(n) = −1 als n een positief kwadraatvrij geheel getal is met een oneven aantal verschillende priemfactoren.
  • μ(n) = 0 als n niet kwadraatvrij is.
  • μ(0) wordt over het algemeen ongedefinieerd gelaten.

Dit impliceert dat

  • μ(1) = 1 (0 priemfactoren, 1 telt zelf niet mee)
  • μ(2) = -1 (1 priemfactor: 2)
  • μ(3) = -1 (1 priemfactor: 3)
  • μ(4) = 0 (kwadraat)
  • μ(5) = -1 (1 priemfactor: 5)
  • μ(6) = 1 (2 priemfactoren: 2 en 3)
  • μ(7) = -1 (1 priemfactor: 7)
  • μ(8) = 0 (2x kwadraat, 2x4)
  • μ(9) = 0 (kwadraat)

De eerste 50 functiewaarden staan in deze grafiek:

Mobiusfunctie voor n = 1 tot 50