Macht (meetkunde)

De macht van een punt A ten opzichte van een cirkel met middelpunt O en straal r is gedefinieerd als

$p_A=(AO)^2-r^2.$

Punten in het inwendige van een cirkel hebben negatieve macht, in het uitwendige positieve macht, en punten op de cirkel hebben een macht gelijk aan nul.

Alternatieve berekening

AP*AQ=AN*AM

Nemen we een lijn door A, die de cirkel snijdt in punten P en Q, dan blijkt dat $p_A= AP \cdot AQ$, waarbij AP en AQ tegengesteld van teken worden geacht als ze tegengesteld gericht zijn.

Bewijs

Veronderstel A in het uitwendige van de cirkel.

Deze alternatieve berekening is duidelijk correct voor het bijzondere geval dat we voor de lijn AO nemen, want dan $p_A= AP \cdot AQ = (AO-r)(AO+r)$, zoals gewenst.

Neem voor het algemene geval de lijn AO als hulplijn, en noem de snijpunten met de cirkel N en M zoals in de figuur. Nu geldt $\angle PQN = \angle PMN$ omdat het omtrekshoeken zijn op dezelfde boog. Maar dan zijn driehoeken AMP en AQN gelijkvormig, zodat $\frac{AN}{AQ} = \frac{AP}{AM}$ en bijgevolg $AP\cdot AQ = AN \cdot AM=p_A$.

Nemen we een raaklijn door A aan de cirkel, met raakpunt U, dan volgt meteen uit de Stelling van Pythagoras dat $p_A=(AU)^2$.

Het geval dat A in het inwendige van de cirkel ligt bewijzen we op soortgelijke wijze. Q.E.D.

Zie ook

• Machtlijn
• Inversie (meetkunde)

Externe links

• Macht van een punt / Machtlijn

Mediabestanden

Zie de categorie Power of a point van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.