Machtsverheffen

Machtsverheffen is een wiskundige operatie, die wordt geschreven als xⁿ, waarbij twee getallen, het grondtal of de factor x en de exponent n, betrokken zijn. Wanneer n een positief geheel getal is, komt machtsverheffen overeen met herhaalde vermenigvuldiging; met andere woorden, een product van n factoren van x:

$x^n = \underbrace{x \times \cdots \times x}_n,$

net zoals vermenigvuldiging met een positief geheel getal overeen komt met herhaald optellen:

$x \times n = \underbrace{x + \cdots + x}_n.$

Men zegt: x tot de macht n, of ook kort x tot de n-de. Zo is 2 tot de macht 3, of 2 tot de derde: 2³ = 2×2×2 = 8, met 2 het grondtal en 3 de exponent van de macht 2³. Verwar macht niet met exponent.

Machtsverheffen is een rekenkundige operatie van de derde orde.

Definitie

De n-de macht van het grondtal x, genoteerd als xⁿ, is gedefinieerd als het product van n factoren x.

De gebruikelijke notatie is om de exponent n, die het aantal factoren aangeeft, hoger te schrijven (superscript).

Door de uitbreiding van de definitie met:

$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$

zijn ook negatieve exponenten mogelijk.

Een verdere uitbreiding is:

$x^{\frac{1}{m}}=\sqrt[m]{x}$

waarmee ook gebroken exponenten mogelijk zijn.

Rekenen met machten

Bij het rekenen met machten kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande rekenregels. Daarbij is er steeds van uitgegaan dat de betrokken machten gedefinieerd zijn.

Voor x ≠ 0 is:

• $x^0=1\,$
• $x^{-1}=\frac 1x\,$

• $x^a x^b=x^{a+b}\,$
• $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$

Het voordeel van de regel $a^0=1\!$ is dat hierdoor de rekenregel $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$, met $x \neq 0$, ook van toepassing is in het geval dat $a=b$.

• $\left(x^a \right)^b=x^{ab}$

Dit geeft bijvoorbeeld $x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n} = { ( \sqrt[m]x ) }^n$.

N.B. machtsverheffen is dus ook niet associatief, dan was: $\left(x^a\right)^b = x^\left(a^b\right)$

• $\left(xy \right)^a=x^a y^a$

Wanneer het grondtal 0 is.

Voor a > 0 is:

• $0^a=0\,$

• $0^0$ is normaal niet gedefinieerd. In sommige gevallen wordt er voor gekozen $0^0=1$ te stellen, zie onder: Nul tot de macht nul.

Met gebruikmaken van de natuurlijke logaritme en de exponentiële functie voor het positief grondtal a geldt:

$a^x = e^{x\cdot \ln{a}}$

Omgekeerde bewerkingen

Daar machtsverheffen niet commutatief is,

$\!2^3=8$

terwijl

$\!3^2=9$,

zijn er twee omkeerbewerkingen: worteltrekken en logaritme

$\sqrt[3]{8}=2$ en $^2\!\log 8=3$ t.o.v. $\sqrt[2]{9}=3$ en $^3\!\log9=2$.

Macht houdt verband met het begrip graad bij polynomen en vergelijkingen. Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking waarin de hoogste macht 2 is.

Afgeleide

Vatten we de a-de macht van x op als functie van x, dus voor zekere exponent a:

$f \left(x \right)=x^a$

dan wordt de afgeleide gegeven door:

$f' \left(x \right)=a x^{a-1}$

Vatten we een macht op als functie van de exponent, dus voor zeker grondtal a:

$g \left(x \right)=a^x$

dan wordt de afgeleide gegeven door:

$g' \left(x \right)=a^x \ln(a)$

Machten en complexe getallen

Via wiskundige regels zijn ook machten met als exponent niet-natuurlijke en zelfs van complexe getallen gedefinieerd, zie bijvoorbeeld de formule van Euler

$e^{\pi\cdot i} = -1$.

Reeksontwikkeling met machten

Functies kunnen als een reeksontwikkeling met machten geschreven worden. Een voorbeeld is de reeksontwikkeling voor een exponentiële functie Voor twee reële getallen, quaternionen of complexe getallen a, b (a positief) geldt

$a^b = e^{b\cdot \ln{a}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(b\cdot\ln{a})^n}{n!}$

Nul tot de macht nul

In enkele gevallen wordt 0⁰=1 ad hoc gedefinieerd.

De afspraak 0⁰ = 1 wordt onder meer ingegeven door de volgende overwegingen.

• Combinatorisch stelt n^m het aantal afbeeldingen voor van een verzameling van n elementen in een verzameling van m elementen. Doorredenerend is 0⁰ het aantal afbeeldingen van de lege verzameling in de lege verzameling. Eventueel kan worden gezegd, dat er daarvan 1 is.
• Een machtreeks als $\textstyle e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ zou anders niet gedefinieerd zijn voor x = 0, of men zou de langere formule $\textstyle e^{x} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ moeten hanteren.
• Ook de formule voor het binomium $\textstyle(1+x)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k$ is niet geldig voor x = 0 zonder deze afspraak.

Zie ook

• Rekenen

Wiskundige functies
Basisfuncties: Optellen · Aftrekken · Vermenigvuldigen · Delen · Machtsverheffen · Worteltrekken Logaritme: Logaritme · Natuurlijke logaritme · Exponentiële functie Trigonometrie: Sinus en cosinus · Tangens en cotangens · Secans en cosecans Inverse functies: Arcsinus · Arccosinus · Arctangens · Arccotangens · Arcsecans · Arccosecans Overige: Hyperbolische functies