Machtsverheffen

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Machtsverheffen is een wiskundige operatie, die wordt geschreven als xn, waarbij twee getallen, het grondtal of de factor x en de exponent n, betrokken zijn. Wanneer n een positief geheel getal is, komt machtsverheffen overeen met herhaalde vermenigvuldiging; met andere woorden, een product van n factoren van x:

x^n = \underbrace{x \times \cdots \times x}_n,

net zoals vermenigvuldiging met een positief geheel getal overeen komt met herhaald optellen:

n \times x = \underbrace{x + \cdots + x}_n.

Men zegt: x tot de macht n, of ook kort x tot de n-de. Zo is 2 tot de macht 3, of 2 tot de derde: 2³ = 2×2×2 = 8, met 2 het grondtal en 3 de exponent van de macht 2³. Verwar macht niet met exponent.

Machtsverheffen is een rekenkundige operatie van de derde orde.

Definitie[bewerken]

Voor het natuurlijke getal n\neq 0 is de n-de macht van het grondtal x, genoteerd als xn, gedefinieerd als het product van n factoren x.

Uit deze definitie volgt ook dat

x^1=x.

De gebruikelijke notatie is om de exponent n, die het aantal factoren aangeeft, hoger te schrijven (superscript).

Voor n=0 is een aparte definitie nodig. Voor x\neq 0 is de gebruikelijke definitie:

x^0=1

Met deze definitie blijft de betrekking x^{n+1}=x\cdot x^n geldig voor n=0.

Door de uitbreiding van de definitie met:

x^{-n}=\frac{1}{x^n}

zijn ook negatieve exponenten mogelijk.

Een verdere uitbreiding is:

x^{\frac{1}{m}}=\sqrt[m]{x}

waarmee ook gebroken exponenten mogelijk zijn.

Rekenen met machten[bewerken]

Bij het rekenen met machten kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande rekenregels. Daarbij is er steeds van uitgegaan dat de betrokken machten gedefinieerd zijn.

Voor x ≠ 0 is:

  • x^0=1
  • x^{-1}=\frac 1x
  • x^a x^b=x^{a+b}
  • \frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}

De afspraak x^0=1 is zo gekozen dat de genoemde rekenregels algemeen geldig zijn voor x \neq 0

  • \left(x^a \right)^b=x^{ab} voor x>0, en ook voor x \neq 0 als a,b geheel zijn.

Deze rekenregel houdt bijvoorbeeld in dat  x^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{x^n} = { ( \sqrt[m]x ) }^n .

N.B. machtsverheffen is dus ook niet associatief, dan was: \left(x^a\right)^b = x^\left(a^b\right)

  • \left(xy \right)^a=x^a y^a als a geheel is of als x,y > 0.

Als het grondtal 0 is.

Voor a > 0 is:

  • 0^a=0\,

Met gebruikmaken van de natuurlijke logaritme en de exponentiële functie voor het positief grondtal a geldt:

a^x = e^{x\cdot \ln{a}}

Omgekeerde bewerkingen[bewerken]

Daar machtsverheffen niet commutatief is,

2^3=8

terwijl

3^2=9,

zijn er twee omkeerbewerkingen: worteltrekken en logaritme

\sqrt[3]{8}=2 en ^2\!\log 8=3
\sqrt[2]{9}=3 en ^3\!\log9=2.

Afgeleide[bewerken]

Vatten we de a-de macht van x op als functie van x, dus voor zekere exponent a:

f \left(x \right)=x^a

dan wordt de afgeleide gegeven door:

f' \left(x \right)=a x^{a-1}

Vatten we een macht op als functie van de exponent, dus voor zeker grondtal a:

g \left(x \right)=a^x

dan wordt de afgeleide gegeven door:

g' \left(x \right)=a^x \ln(a) waarbij met \ln de natuurlijke logaritme bedoeld wordt

Machten en complexe getallen[bewerken]

Via wiskundige regels zijn ook machten met als exponent niet-natuurlijke en zelfs van complexe getallen gedefinieerd, zie bijvoorbeeld de formule van Euler

e^{\pi\cdot i} = -1.

Reeksontwikkeling met machten[bewerken]

Functies kunnen als een reeksontwikkeling met machten geschreven worden. Een voorbeeld is de reeksontwikkeling voor een exponentiële functie Voor twee reële getallen, quaternionen of complexe getallen a, b (a positief) geldt

a^b = e^{b\cdot \ln{a}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(b\cdot\ln{a})^n}{n!}

Nul tot de macht nul[bewerken]

In situaties waar de exponent niet continu verandert komt men de afspraak 00 = 1 op een aantal plaatsen tegen:

Zie ook[bewerken]

Link[bewerken]