Mandelbrotverzameling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Mandelbrotverzameling.

De Mandelbrotverzameling is een fractal die een belangrijke rol speelt in de chaostheorie. De verzameling is genoemd naar Benoît Mandelbrot, een Pools-Franse wiskundige die de fractal in 1980 voor het eerst met de behulp van een computer onderzocht. De verzameling werd echter al in 1905 onderzocht door Pierre Fatou, een Franse wiskundige die zich specialiseerde in de studie van recursieve vergelijkingen.

Buiten de chaostheorie staat de Mandelbrotverzameling vooral bekend om zijn esthetische eigenschappen en is daarom vaak het onderwerp van recreatieve wiskunde en inleidende cursussen in fractals.

Uitleg[1][bewerken]

De Mandelbrotverzameling is een verzameling van complexe getallen. Een complex getal bestaat uit twee delen: een reëel getal en een imaginair getal. Reële getallen zijn "gewone" getallen, inclusief kommagetallen en negatieve getallen. Imaginaire getallen zijn gebaseerd op de imaginaire eenheid i. Het getal i is zo gedefinieerd, dat

i^2=-1\!

(merk op dat bij reële getallen een kwadraat nooit een negatief getal oplevert). Een voorbeeld van een complex getal is 2 + 0.5i. In dit getal is 2 het reële deel en 0.5i het imaginaire deel.

De Mandelbrotverzameling wordt afgebeeld in het complexe vlak

Complexe getallen kunnen worden weergegeven als punten in het complexe vlak. Het complexe vlak kan voorgesteld worden als een grafiek, waarbij het reële deel op de horizontale as (x-as) en het imaginaire deel op de verticale as (y-as) staat. Het complexe getal 2 + 0.5i heeft dus in het complexe vlak de coördinaten (2 , 0.5). Omdat de Mandelbrotverzameling uit complexe getallen bestaat, wordt deze altijd afgebeeld in het complexe vlak.

De Mandelbrotverzameling ontstaat door herhaaldelijk een bepaalde wiskundige bewerking te doen op de verzameling complexe getallen. In deze bewerking wordt eerst het kwadraat genomen van een complex getal, waarna het oorspronkelijke getal hierbij wordt opgeteld.

De baan van het getal -2 bij de berekening van de Mandelbrotverzameling. -2 blijkt een gebonden sequentie op te leveren

Deze bewerking wordt telkens herhaald: de uitkomst wordt gekwadrateerd, daarna wordt het oorspronkelijke getal erbij opgeteld.

Wanneer deze bewerking voor alle complexe getallen voortdurend herhaald wordt, blijken er twee soorten complexe getallen te zijn. Veel complexe getallen leveren tijdens deze bewerking een sequentie op die ongebonden is: de uitkomsten worden steeds groter naarmate de bewerking vaker herhaald wordt. Dit is onder meer het geval bij het bovenstaande voorbeeld van het getal 2 + 0.5i. Andere complexe getallen leveren echter een gebonden sequentie op. Hoe vaak de bewerking ook herhaald wordt, de uitkomsten blijven binnen bepaalde waarden. Een eenvoudig voorbeeld is het getal -2 + 0i, of simpelweg -2. Het kwadraat van -2 is 4, optellen van -2 levert vervolgens 2 op. Herhalen van de bewerking (kwadraat van 2, daarna het oorspronkelijke getal -2 erbij optellen) levert telkens opnieuw 2 op. Een punt dat tijdens het herhalen van de bewerkingen na verloop van tijd telkens opnieuw uitkomt bij dezelfde waarde(n) wordt overigens een Misiurewicz-punt genoemd.

De Mandelbrotverzameling bestaat uit alle getallen die bij bovenstaande bewerking een gebonden sequentie blijken op te leveren. De getallen die leiden tot een ongebonden sequentie vallen allemaal buiten de Mandelbrotverzameling. Zoals gezegd blijven gebonden sequenties binnen bepaalde waarden. Deze waarden blijken, weergegeven in het complexe vlak, een cirkel te vormen. De gehele Mandelbrotverzameling valt dus binnen deze cirkel, waarvan in de praktijk de straal 2 blijkt te zijn en het middelpunt bij de oorsprong ligt.

Kleurgebruik[bewerken]

Aanzicht van een deel van de Mandelbrotverzameling, met iteratief kleurgebruik, afhankelijk van na hoeveel iteraties een sequentie ongebonden blijkt te zijn. Waarden die binnen de Mandelbrotverzameling vallen hebben een zwarte kleur gekregen

In afbeeldingen wordt de Mandelbrotverzameling vaak met een zwarte kleur weergegeven, en de getallen die buiten de verzameling vallen met een andere kleur. Vaak wordt een groot aantal kleuren gebruikt, die geleidelijk in elkaar overgaan. In veel kleurenweergaves zijn de kleuren een indicatie van de hoeveelheid iteraties die nodig is voordat een ongebonden sequentie een waarde oplevert die buiten de cirkel valt waarbinnen zich de Mandelbrotverzameling bevindt. Wanneer ingezoomd wordt op de randen van de afbeelding van de Mandelbrotverzameling, worden al gauw locaties zichtbaar met punten die honderden iteraties behoeven, voordat vastgesteld is dat ze ongebonden zijn. Wanneer er bijvoorbeeld 256 kleuren gebruikt worden, beginnend met een donkerblauwe kleur (voor de punten die meteen buiten de cirkel liggen), dan wordt die donkerblauwe kleur na 256 en na 512 iteraties opnieuw gebruikt (voor punten die na 256 of na 512 iteraties buiten de cirkel komen te liggen).

Wiskundige beschrijving[bewerken]

De Mandelbrotverzameling wordt formeel gedefinieerd met behulp van de klasse complexe tweedegraadspolynomen:

\!\,p_c(z)= z^2 + c.

De verzameling bestaat uit de punten c in het complexe vlak, waarvoor de rij

(0, p_c(0), p_c(p_c(0)), p_c(p_c(p_c(0))),\ldots)

niet wegloopt naar oneindig.

Men onderzoekt de Mandelbrotverzameling met behulp van de recursieve relatie:

z_0 = 0\,
z_{n+1} = {z_n}^2 + c

De rij kan als volgt worden uitgeschreven:

\!\,c=a+bi
\!\,z_0=0
z_1=z_0^2+c=c=a+bi
z_2=z_1^2+c=(a+bi)^2+a+bi=a^2-b^2+a+(2ab+b)i
z_3=z_2^2+c=\dots

enz.

In termen van het reële- en imaginaire deel (resp. de x- en y-coördinaten van het complexe vlak), met:

\!\,z_n = x_n+y_ni

wordt dit:

\!\,x_{n+1} = {x_n}^2 - {y_n}^2 + a

en

\!\,y_{n+1} = 2{x_n} {y_n} + b

Beschrijving van de fractal[bewerken]

Door kleuren aan te brengen die overeenkomen met de snelheid waarmee de rij convergeert of divergeert ontstaat een kleurrijk figuur

De Mandelbrotverzameling kan worden verdeeld in een oneindige verzameling van figuren: de grootste figuur in het centrum is een cardioïde. Er is een aftelbaar oneindig aantal bijna-cirkels, waarvan de diameter asymptotisch naar nul nadert. De enige volledige cirkel bevindt zich direct links van de cardioïde. Elk van de bijna-cirkels heeft op zijn beurt een eigen aftelbaar oneindig aantal kleinere cirkels om zich heen, die zich vanuit de cirkel vertakken. Deze vertakking zet zich oneindig voort, en aldus vormt zich een fractal. Alle punten binnen deze fractal zijn aangrenzende punten, dit is een bewezen gegeven. Deze fractal is dus samenhangend ofwel gesloten, net als de juliafractals waaruit het object is opgebouwd.

Media[bewerken]

Ingezoomd op een deel van de Mandelbrotverzameling
Ingezoomd op een deel van de Mandelbrotverzameling

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. gebaseerd op het boek The Emperor's New Mind, Roger Penrose, Oxford University Press, 1999, hoofdstuk 3, en het artikel op de Engelstalige Wikipedia, 11 december 2010