Manhattan-metriek

De lijnen in rood, geel en blauw zijn drie voorbeelden van de Manhattan-afstand tussen de twee zwarte, ronde punten. Zij zijn alle drie 12 eenheden lang. De groene lijn stelt de volgens de Euclidische afstand kortste route voor tussen de twee punten. De 'Euclidische' lengte van de groene lijn is 6·√2 ≈ 8,5 eenheden.

De Manhattan-matriek, voor het eerst onderzocht aan het eind van de 19e eeuw door Hermann Minkowski, is een vorm van meetkunde waarin de gebruikelijke metriek van de Euclidische meetkunde wordt vervangen door een nieuwe metriek waarin de afstand tussen twee punten de som is van de (absolute) verschillen tussen hun coördinaten. De Manhattan-metriek staat ook bekend als de rechtlineaire afstand, de L₁ afstand of de L¹ norm (zie L^p ruimte), de cityblock afstand of de Manhattan-afstand, met overeenkomende variaties in de naam van de meetkunde. De naam verwijst naar de rooster-lay-out van de meeste lanen en straten op het eiland Manhattan, zoals vastgelegd in een plan uit 1811. Dit rooster zorgt ervoor dat de kortste route die een voetganger of auto kan nemen om de afstand tussen twee punten in de stad te overbruggen een lengte heeft die gelijk is aan de afstand tussen twee punten in de Manhattan-metriek. (Zie het plaatje rechts voor een voorbeeld).

In formulevorm wordt de Manhattan-afstand gedefinieerd als de som van de absolute verschillen tussen de met elkaar corresponderende coördinaten

$d(\underline{a},\underline{b})=\sum_{i}{|a_i-b_i|} \,$

Tweedimensionaal voorbeeld

In het tweedimensionale geval, zoals in de figuur, krijgen we het volgende.

Als $\underline{p}$ en $\underline{q} \,$ punten zijn met coördinaten $\underline{p} = (p_1,p_2)$ en $\underline{q} = (q_1,q_2)$ dan is de blokmetriek-afstand tussen $\underline{p}$ en $\underline{q}$:

$d(\underline{p},\underline{q}) = |p_1 - q_1| + |p_2 - q_2| \,$

Ter vergelijking: de welbekende Euclidische afstand tussen $\underline{p}$ en $\underline{q}$ is

$d_{eucl}(\underline{p},\underline{q})=\sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} \,$