Massamiddelpunt

Massamiddelpunt van een systeem van 4 punten van verschillende massa

Het massamiddelpunt, gemeenschappelijk zwaartepunt, massacentrum of barycentrum (anglicisme) van een groep puntmassa's in de ruimte wordt gedefinieerd door het gewogen gemiddelde van de plaatsvectoren. De weegfactor is de massa.

Berekening

Voor een stelsel van n materiële massapunten $m_1, m_2, \ldots m_n$ met plaatsvectoren $\vec{ r_1}, \vec{ r_2} \ldots \vec{ r_n}$ wordt de plaatsvector van het massamiddelpunt berekend met de formule

$\vec{ r_C} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i\vec{ r_i}$

...waarbij M de totale massa is, de som van de massa's van de objecten:

$M = \sum_{i=1}^n m_i$.

Voor een massa die op continue wijze verdeeld is over een volume V in de ruimte met een dichtheid ρ, eventueel afhankelijk van de plaats, kan de sommatie vervangen worden door een integraal:

$\vec{ r_C} = \frac{1}{M} \int_{M} \vec{ r}\,dm = \frac{1}{M} \int_{V} \vec{ r}\rho dV$;

waarbij M weer de totale massa is, bepaald door

$M = \int_{M} \,dm = \int_{V} \rho\,dV$. met $\ dm =\rho dV$

In $\mathcal{R}^3$ worden de coördinaten van het massamiddelpunt bepaald door:

$x_C = \frac{1}{M} \int_{M} \,x\,dm$

$y_C = \frac{1}{M} \int_{M} \,y\,dm$

$z_C = \frac{1}{M} \int_{M} \,z\,dm$

Eigenschap

Het massamiddelpunt van een lichaam, stelsel lichamen of stelsel puntmassa's beweegt alsof alle krachten daar aangrijpen, en alle massa daar geconcentreerd is.