Matrixoptelling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra, een onderdeel van de wiskunde, is een matrixoptelling een operatie waar twee matrices bij elkaar worden opgeteld door de corresponderende elementen op te tellen. Daarnaast bestaat er nog een tweede operatie, de direct som, die ook als een soort van optelling van matrices kan worden beschouwd.

Elementsgewijze som[bewerken]

De gebruikelijke matrixoptelling wordt gedefinieerd voor twee matrices met dezelfde dimensie. De som van twee m-bij-n matrices A en B, aangeduid met A + B, is opnieuw een m-bij-n matrix die wordt berekend door de overeenkomstige elementen van A en B bij elkaar op te tellen. Bijvoorbeeld:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}

We kunnen ook een matrix van een ander matrix aftrekken, zolang beide matrices ten minste dezelfde dimensie hebben. A - B wordt berekend door de overeenkomstige elementen van B van A af te trekken, en heeft dezelfde dimensie als A en B. Bijvoorbeeld:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\    1 & 2
  \end{bmatrix}
-
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1-0 & 3-0 \\
    1-7 & 0-5 \\
    1-2 & 2-1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    -6 & -5 \\
    -1 & 1
  \end{bmatrix}

Directe som[bewerken]

Een andere operatie, die minder vaak wordt gebruikt, is de directe som. We kunnen de directe som van elk paar van matrices A en B vormen. Laten we aannemen van respectievelijke grootte m × n en p×q. De directe som is een matrix van grootte (m + p) × (n + q) matrix gedefinieerd als


  A \oplus B =
  \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq} 
  \end{bmatrix}

Bijvoorbeeld,


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\oplus
  \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}

Merk op dat de directe som van twee vierkante matrices een bogenmatrix van een graaf of een multigraaf kan weergeven met één component voor elke direct op te tellen element.

Merk ook op dat enig element in de directe som van twee vectorruimten van matrices kan worden weergegeven als de directe som van twee matrices.

In het algemeen kunnen wij de directe som van n matrices schrijven als:


\bigoplus_{i=1}^{n} A_{i} = \mbox{diag}( A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n)= 
\begin{bmatrix}
      A_1  &  &  &   \\
      & A_2  &   &   \\
      &   & \ddots  &   \\
      &   &   & A_n
\end{bmatrix}.

Eigenschappen van de matrixoptelling[bewerken]

De matrixoptelling heeft enkele eigenschappen. Als A \,, B \, en C \, reële m × n-matrices zijn, dan geldt:

  • Inwendigheid: de matrixsom van A \, en B \, geeft opnieuw een m × n-matrix
  • Commutativiteit: A + B = B + A \,
  • Associativiteit: A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)\,
  • Symmetrie: zij -A \, de matrix die ontstaat uit A \, door van alle elementen het tegengestelde te nemen, dan geldt dat A + (-A) = O \, en (-A) + A = O \,

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]