Meromorfe functie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De Gammafunctie is meromorf in het gehele complexe vlak

In de complexe analyse is een meromorfe functie op een open deelverzameling D van het complexe vlak een functie, die holomorf is op alle D met uitzondering van een verzameling van geïsoleerde punten, die de polen van de functie zijn. De terminologie komt van het Oudgriekse "meros" (μέρος), wat deel betekent, dit in tegenstelling tot "holos" (ὅλος), wat geheel betekent.

Elke meromorfe functie op D kan worden uitgedrukt als de verhouding tussen twee holomorfe functies (met de noemer niet constant 0) gedefinieerd op D: de polen komen dan voor op de nullen van de noemer.

Intuïtief kan men een meromorfe functie dus opvatten als een ratio van twee zich "goed-gedragende" (holomorfe) functies. Een meromorfe functie zal zich nog steeds "goed-gedragen", behalve op de punten waar de noemer van de breuk nul is; daar nadert de waarde van de functie tot oneindig.

Vanuit algebraïsch oogpunt, als D samenhangend is, dan is de verzameling van meromorfe functies het breukenveld van het integriteitsdomein van de verzameling van holomorfe functies. Dit is analoog aan de relatie tussen \mathbb{Q}, de rationale getallen, en \mathbb{Z}, de gehele getallen.

Eigenschappen[bewerken]

Aangezien de polen van een meromorfe functie geïsoleerd zijn, is er ten hoogste een telbaar aantal polen. De verzameling van polen kan echter ook oneindig zijn, zoals wordt geïllustreerd door de functie

f(z) = \frac{1}{\sin z}.

Door gebruik te maken van analytische voortzetting om ophefbare singulariteiten te elimineren, kunnen meromorfe functies worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en kan het quotiënt f/g worden gevormd, tenzij g(z) = 0 op een samenhangende ruimte van D. Dus als D samenhangend is, vormen de meromorfe functies een veld, in feite een velduitbreiding van de complexe getallen.

Meromorfe functies afgebeeld op Riemann-oppervlakken[bewerken]

Op een Riemann-oppervlak staat ieder punt een open omgeving toe die isomorf is met een open deelverzameling van het complexe vlak. Hierdoor kan de notie van een meromorfe functie voor elke Riemann-oppervlak worden gedefinieerd.

Wanneer D de volledige Riemann-sfeer is, dan is het veld van de meromorfe functies gelijk aan het veld van de rationele functies in één variabele over het complexe veld, dit aangezien men kan bewijzen dat elke meromorfe functie op de Riemann-sfeer rationeel is. Dit is een speciaal geval van het zogenaamde "GAGA"-principe.

Voor elke Riemann-oppervlak is een meromorfe functie hetzelfde als een holomorfe functie die afbeeldt op het Riemann-oppervlak en die niet constant ∞ is. De polen corresponderen met die complexe getallen die zijn afgebeeld op ∞.

Op een niet-compact Riemann-oppervlak kan elke meromorfe functie worden gerealiseerd als een quotiënt van twee (globaal gedefinieerde) holomorfe functies. In tegenstelling daarmee is op een compact Riemann-oppervlakte elke holomorfe functie constant, terwijl er altijd niet-constante meromorfe functies bestaan.

Meromorfe functies op een elliptische kromme staan ook bekend als elliptische functies.

Hogere dimensies[bewerken]

In de theorie van functies van meer complexe variabelen wordt een meromorfe functie lokaal gedefinieerd als een quotiënt van twee holomorfe functies. Bijvoorbeeld, f(z1,z2)=z1/z2 is een meromorfe functie op de twee-dimensionale complexe affiene ruimte. Hier is het niet langer waar dat iedere meromorfe functie als holomorfe functie met waarden in de Riemann-sfeer kan worden beschouwd: Er is een verzameling van "onbepaaldheid" van codimensie twee (in het gegeven voorbeeld bestaat deze verzameling uit de oorsprong (0,0)).

Anders dan in dimensie één bestaan er in de hogere dimensies complexe variëteiten, waarop geen niet-constante meromorfe functies bestaan, bijvoorbeeld de meeste complexe tori.

Voorbeelden[bewerken]

 f(z)= \frac{z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1},
waar de noemers sneller groeien dan de teller, zijn meromorf over het gehele complexe vlak.
  • Functies zoals
f(z)=\frac{e^{z}}{z} en  f(z)=\frac{ \sin{z}}{(z-1)^{2}},
de gammafunctie en de Riemann-zeta-functie zijn meromorf over het gehele complexe vlak.
  • De functie
 f(z)=e^{\frac{1}{z}}
is gedefinieerd in het gehele complexe vlak behalve in de oorsprong, 0. De oorsprong, 0, is echter geen pool van deze functie, maar een essentiële singulariteit. Daarom is deze functie niet meromorf in het gehele complexe vlak. Deze functie is echter wel meromorf (zelfs holomorf) op \mathbb{C} \setminus \{0\}.
  • Een beetje op dezelfde manier heeft de functie
 f(z) = \frac{z}{e^z - 1}
op alle punten singulariteiten in de vorm z= 2 n \pi i voor n \in \mathbb{Z}. Deze functie is echter niet meromorf op alle \mathbb{C}, aangezien de singulariteit op z = 0 een ophefbare singulariteit is: \lim_{z \rightarrow 0} f(z) = 1.
Als we dit "patchen" door te definiëren dat
 \hat{f}(z) = \begin{cases} f(z) & z \neq 0, \\ 1 & z = 0, \end{cases}
dan zou de functie \hat{f} alleen pool singulariteiten hebben, en dus worden meromorf zijn. Wij kunnen simpelweg zeggen dat f meromorf is op \mathbb{C} \setminus \{0\}.
 f(z)=\ln(z)
is niet meromorf over het gehele complexe vlak, aangezien de functie niet over het gehele complexe vlak kan worden gedefinieerd; er bestaat een verzameling van geïsoleerde punten.
  • De functie
f(z) = \frac1{\sin (1/z)}
is niet meromorf in het gehele vlak, aangezien het punt z = 0 een ophopingspunt van polen is en dus geen geïsoleerde singulariteit is.
  • De functie
f(z) = \sin \frac1z
is niet meromorf, aangezien ze een essentiële singulariteit op 0 heeft.