Middelpuntshoek en omtrekshoek

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Middelpuntshoek α en omtrekshoek β

Middelpuntshoeken en omtrekshoeken zijn hoeken in en op cirkels. Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de cirkel. Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en de benen gevormd worden door twee koorden.

Men zegt dat de hoeken staan op een cirkelboog. In het voorbeeld zien we middelpuntshoek α staan op cirkelboog AB en omtrekshoek β op cirkelboog DC.

Hoofdeigenschap van middelpunts- en omtrekshoeken[bewerken]

Een omtrekshoek is half zo groot als de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.

Het bewijs hiervan wordt gegeven door gevalsplitsing. Er zijn drie mogelijkheden. Het bewijs volgt erg gemakkelijk uit de tekeningen.

Bewijs:

  1. Driehoek OAV is gelijkbenig zodat de basishoeken gelijk zijn. De nevenhoek van θ is dus 180°-2ψ, θ = 180°-(180°-2ψ) = 2ψ.
  2. Teken de rechte VO zoals in afbeelding 2. Nu volgt uit (1.) dat θ1 = 2ψ1 en dat θ2 = 2ψ2 zodat θ0 = θ1 + θ2 = 2ψ1 + 2ψ2 = 2ψ0.
  3. Teken de rechte VO zoals in afbeelding 3. Uit (1.) volgt dan dat θ0 = 2ψ0 en dat θ1 = 2ψ1 zodat θ2 = θ0 - θ1 = 2ψ0 - 2ψ1 = 2ψ2.

Q.E.D.

Afgeleide eigenschappen[bewerken]

Rechte hoek[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie Stelling van Thales (cirkels) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een omtrekshoek die op een halve cirkel staat, is recht.

Bewijs: Dit volgt onmiddellijk uit de hoofdeigenschap. 2β = α = 180° zodat β = 90°

Q.E.D.

constructie van een rechte hoek

Omtrekshoeken op dezelfde boog[bewerken]

Omtrekshoeken die op dezelfde boog staan, zijn even groot. Deze eigenschap wordt oa. toegepast bij het uitvoeren van de achterwaartse insnijding.

Bewijs: Uit de hoofdeigenschap volgt: θ = 2α en θ = 2β en θ = 2ε zodat α = β = ε

Q.E.D.

omtrekshoeken op dezelfde boog

Overstaande hoeken van een koordenvierhoek[bewerken]

De overstaande hoeken van een koordenvierhoek zijn supplementair.

Bewijs: Uit de hoofdeigenschap volgt dat 2β = α en dat 2ψ = θ zodat 360° = α + θ = 2β + 2ψ = 2(β + ψ) waaruit volgt dat β + ψ = 180°. Het bewijs voor het andere paar overstaande hoeken is volledig analoog.

Q.E.D.

overstaande hoeken in een koordenvierhoek