Minkowski-diagram

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een ruimtetijddiagram illustreert de eigenschappen van ruimte en tijd uit de speciale relativiteitstheorie van Einstein. Een ruimtetijddiagram wordt ook wel een Minkowskidiagram genoemd naar de bedenker Hermann Minkowski. Dit diagram stelt ons in staat bizarre effecten zoals tijddilatatie en lengtecontractie op een kwalitatieve manier te begrijpen, zonder formules.

Wij leven in ruimte en tijd: wij bevinden ons elk moment (tijd) op een bepaalde plaats (ruimte). In de speciale relativiteitstheorie worden ruimte en tijd niet meer los van elkaar gezien. De drie ruimtecoördinaten (lengte, breedte en hoogte) en de tijd (een coördinaat) vormen tezamen de vierdimensionale ruimtetijd. Een ruimtetijddiagram is een soort kaart waarop je kunt aflezen wat er gebeurt in onze wereld: de ruimtetijd.

De basis[bewerken]

Een punt in het ruimtetijddiagram geeft een gebeurtenis weer. Voor de eenvoud beperken we ons tot één ruimtedimensie. Voorwerpen bewegen hierbij dus alleen vooruit en achteruit. Het diagram is dan tweedimensionaal.

We beginnen met een horizontale ruimteas en een verticale tijdas. De onderlinge schaal van de assen is op een specifieke manier gekozen. Relativistische effecten beginnen pas een rol van betekenis te spelen bij snelheden in de orde van de lichtsnelheid. Daarom vermenigvuldigen we alle tijdcoördinaten met de lichtsnelheid c. Waarbij geldt c = 299.792.458 m/s. Op de verticale as, zetten we dus niet de tijd t uit, maar de grootheid ct. Als we de seconde als eenheid van tijd nemen, zetten we de afstand die het licht in één seconde aflegt (299.792.458 m) uit als eenheid langs de horizontale ruimte-as.

Door de eenheden zo te kiezen, hebben we zowel langs de verticale als de horizontale as een lengte-eenheid. Eén vierkant hokje heeft nu een zijde waarvan de lengte overeenkomt met de afstand die het licht in één seconde aflegt. Die afstand noemen we ook wel een lichtseconde (ls).

De wereldlijn van een foton/lichtflits, zoals de gele lijn in de figuur hiernaast, heeft dan een helling van 45°.

.

De rode lijn is bijvoorbeeld een ruimteschip dat beweegt met een kwart van de lichtsnelheid.

Verandering van inertiaalstelsel[bewerken]

Terwijl gebeurtenissen nog steeds door dezelfde punten worden aangegeven en de wereldlijnen dus ook niet veranderen (en die van fotonen dus nog steeds een helling hebben van 45°) kan men overgaan op een ander inertiaalstelsel door de tijdas met de klok mee te draaien en de ruimteas evenveel tegen de klok in of omgekeerd, over een hoek van minder dan 45 graden.[1] De rode lijn is dan de tijdas in het inertiaalstelsel waarin het ruimteschip stilstaat. De groene lijn is een voorbeeld van een andere ruimteas. Een lijn evenwijdig aan een tijdas verbindt gebeurtenissen op dezelfde ruimtelijke positie in het betreffende inertiaalstelsel. Een lijn evenwijdig aan een ruimteas verbindt gebeurtenissen die onderling in het betreffende inertiaalstelsel gelijktijdig zijn.

Ruimte-, licht- en tijdachtige intervallen[bewerken]

Voor twee verschillende ruimtetijdposities zijn er drie mogelijkheden:

  • Als de verbindingslijn een helling heeft van in absolute waarde minder dan 45° zegt men dat de ruimtetijdposities ruimteachtig gescheiden zijn. Er kan geen causaal verband zijn tussen gebeurtenissen op beide ruimtetijdposities; het tijdverschil is afhankelijk van het inertiaalstelsel positief, nul of negatief. De ruimtelijke afstand is in elk inertiaalstelsel groter dan nul, en het kleinst in het inertiaalstelsel waarin de ruimtetijdposities gelijktijdig zijn.
  • Als de verbindingslijn een helling heeft van in absolute waarde 45° zegt men dat de ruimtetijdposities lichtachtig gescheiden zijn (omdat een lichtpuls uitgezonden op de ene ruimtetijdpositie op de andere aankomt). De ene ruimtetijdpositie is ondubbelzinnig in de tijd na de andere, maar voor twee gegeven ruimtetijdposities kan door de keuze van het inertiaalstelsel het tijdsverschil (en dienovereenkomstig de ruimtelijke afstand) elke willekeurige positieve waarde aannemen.
  • Als de verbindingslijn een helling heeft van in absolute waarde meer dan 45° zegt men dat deze tijdachtig gescheiden zijn. De ene ruimtetijdpositie is ondubbelzinnig in de tijd na de andere. Het tijdsverschil is het kleinst in het inertiaalstelsel waarin de ruimteposities gelijk zijn, het is de verstrijkende eigentijd van een waarnemer die zich met een constante snelheid tussen de ruimtetijdposities verplaatst.

In absolute zin (in de betekenis van niet afhankelijk van het inertiaalstelsel, maar wel met onderscheid tussen voor en na in plaats en tijd) zijn er, samenvattend, voor een ruimtetijdpositie A ten opzichte van een ruimtetijdpositie B de volgende mogelijkheden (weergegeven in termen van een gemakkelijk inertiaalstelsel):

  • Beide zijn gelijk.
  • Ze zijn tegelijk, met als parameter het positieverschil ongelijk aan nul (positief of negatief).
  • Ze zijn lichtachtig gescheiden, met als parameters alleen welke het eerst in tijd is, en welke het eerst in positie is.
  • Ze hebben dezelfde positie, met als parameter het tijdsverschil ongelijk aan nul (positief of negatief).

Zie ook de indeling plaatstijdposities t.o.v. de lichtkegel.

Voorbeeld[bewerken]

Stel dat A en B een constante snelheid hebben en elkaar om 0 uur ontmoeten in de oorsprong (ze verwijderen zich dus na de ontmoeting steeds verder van elkaar). Er is dan een symmetrische situatie. Als de beide wereldlijnen (de tijdassen van de beide stelsels) symmetrisch t.o.v. de verticale as getekend worden is er meetkundig ook symmetrie in het diagram.

Bij technisch correct werkende klokken geeft de klok van A de tijd in het inertiaalstelsel waarin A stilstaat aan, en de klok van B de tijd in het inertiaalstelsel waarin B stilstaat. Bij een signaal van A naar B met direct een signaal terug van B naar A, is op grond van symmetrie de tijd bij B op het moment dat het signaal daar aankomt en het antwoord verstuurd wordt het meetkundig gemiddelde van de tijd bij A op het moment dat het signaal uit A verstuurd wordt en de tijd bij A dat het antwoord aankomt.

Voorbeeld: B heeft t.o.v. A een snelheid van 0,8 maal de lichtsnelheid en A verstuurt om 1 uur een signaal en na aankomst bij B wordt direct een antwoord verstuurd. Geredeneerd vanuit een stilstaande A is het signaal 4 uur onderweg (de afstand is 0,8 lichtuur, de relatieve snelheid waarmee het signaal B inhaalt is 0,2 maal de lichtsnelheid) en het antwoord ook 4 uur. Het antwoord komt dus om 9 uur aan. Op grond van de genoemde symmetrie moet de lokale tijd bij B bij aankomst van het signaal 3 uur zijn in plaats van 5 uur (de Lorentzfactor is 5/3). Zo bekeken lijkt de klok bij B langzamer te lopen, maar alles geldt ook omgekeerd: geredeneerd vanuit een stilstaande B moet A het signaal om 1.40 uur verzonden hebben (toen hij op een afstand van 4/3 lichtuur was) en komt het antwoord aan om 15 uur.

Een signaal dat volgens de lokale tijd bij de een 3 uur vóór de ontmoeting wordt verstuurd arriveert bij de ander volgens de lokale tijd 1 uur voor de ontmoeting. Hier geldt dus een factor 1/3 in plaats van 3.

Dienovereenkomstig toont een videobeeld (live, afgezien van de tijd dat het signaal onderweg is) van de een op het scherm van de ander de beelden eerst een factor 3 versneld en na passeren een factor 3 vertraagd.

Merk op dat bij constante snelheden de tijddilatatie dus niet zo ver gaat dat een signaal volgens de beide lokale tijden eerder aankomt dan het is verzonden. Dit is anders bij het verschijnsel van de tweelingparadox (geverifieerd in diverse uitvoeringen van het Hafele–Keating experiment) waarbij waarnemers herenigen (en dus minstens één van beide geen constante snelheid heeft gehad) nadat de ene een grotere snelheid heeft gehad dan de andere, en de betreffende klokken dan een verschillende tijd aangeven. Bij een variërende snelheid is de lokale tijd niet zo gemakkelijk uit een diagram af te lezen.

Als voorbeeld nemen we weer aan dat B t.o.v. A een snelheid van 0,8 maal de lichtsnelheid heeft, en wel gedurende 5 jaar (in het inertiaalstelsel van A) nadat A en B ontmoetten, de afstand wordt dus 4 lichtjaar. Neem nu aan dat B vervolgens met dezelfde snelheid weer teruggaat. Voor B duurt de reis 6 jaar: 3 jaar heen en 3 jaar terug. B ziet dan 3 jaar lang een factor 3 vertraagde beelden van A (die dus 1 jaar A-tijd omvatten) en 3 jaar lang een factor 3 versnelde beelden van A (die dus 9 jaar A-tijd omvatten). Bij terugkomst is bij A 10 jaar verstreken en bij B 6 jaar.

Literatuur[bewerken]

  • Bais, Sander, De sublieme eenvoud van de relativiteit, Amsterdam University Press. ISBN 9789053569924, 2007

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. De schaal van deze schuine assen is groter dan van de horizontale en verticale as, dus 1 seconde op de tijdas en 1 lichtseconde op de ruimteas hebben een grotere lengte dan de zijde van een hokje.