Modulaire groep

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is de modulaire groep Γ een fundamenteel object van studie in de getaltheorie, de meetkunde, de abstracte algebra en vele andere gebieden van de hogere wiskunde. De modulaire groep kan worden gerepresenteerd als een groep van meetkundige transformaties of als een groep van matrices.

Definitie[bewerken]

De modulaire groep Γ is de groep van lineaire fractionele transformaties van de bovenste helft van het complexe vlak, en wel van de vorm

z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}

waar a, b, c, en d gehele getallen zijn, en waar adbc = 1. De groepsbewerking wordt gegeven door de compositie van functies.

Deze groep van transformaties is isomorf ten opzichte van de projectieve speciale lineaire groep PSL (2, Z), wat weer het quotiënt is van de tweedimensionale speciale lineaire groep over de gehele getallen door zijn centrum {I, −I). Met andere woorden PSL (2, Z) bestaat uit alle matrices

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

waar a, b, c en d gehele getallen zijn en waar adbc = 1, en waar paren van matrices A en −A als identiek worden beschouwd. De groepsbewerking is de gebruikelijke matrixvermenigvuldiging.

Sommige auteurs definiëren de modulaire groep als zijnde PSL (2, Z), en nog anderen omschrijven de modulaire groep als de grotere groep SL(2, Z). Zelfs degenen die de modulaire groep als PSL (2, Z) definiëren maken gebruik van de notatie van SL(2, Z), met de achterliggende verstand dat matrices zijn alleen bepaald zijn tot op het teken.

Sommige wiskundige relaties vereisen de beschouwing van de groep S*L(2, Z) van matrices met determinant plus of min een. Merk op dat SL(2, Z) een ondergroep van deze groep is. Op gelijke wijze is PS*L(2,Z) is de quotiëntgroep S*L(2,Z)/{I, −I). Merk op dat een 2x2 matrix met eenheidsdeterminant een symplectische matrix is, en dat dus SL(2,Z)= Sp(2,Z), de symplectische groep van 2x2 matrices is.

Men kan ook gebruikmaken van de schrijfwijze GL (2,Z) voor S*L(2,Z), omdat een inverteerbare geheelgetallige matrix een determinant +/-1 moet hebben.

Geschiedenis[bewerken]

De modulaire groep en haar subgroepen werden voor het eerst in de jaren 1870 in detail bestudeerd door Dedekind en door Felix Klein, als onderdeel van zijn Erlanger Programm. De nauw verwante elliptische functies werden echter al in 1785 door Lagrange bestudeerd en verdere resultaten over elliptische functies werden door Carl Gustav Jakob Jacobi en Niels Henrik Abel in 1827 gepubliceerd.

Zie ook[bewerken]

Referenties[bewerken]

  • (en) Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (Modulaire functies en Dirichlet-reeksen in de getaltheorie, Tweede editie)(1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0. Zie hoofdstuk 2.