Modulaire vorm
In de wiskunde is een modulaire vorm is een (complexe) analytische functie op het bovenhalfvlak die voldoet aan een bepaalde soort functionaalvergelijking en aan een groeiconditie. De theorie van de modulaire vormen behoort derhalve tot de complexe analyse, maar de belangrijkste betekenis van de theorie is van oudsher in haar verbindingen met de getaltheorie. Modulaire vormen komen ook voor in andere gebieden, zoals de algebraïsche topologie en de snaartheorie.
Een modulaire functie is een modulaire vorm met gewicht 0: in plaats van op een voorgeschreven wijze te transformeren is de modulaire vorm invariant onder de modulaire groep. Een modulaire functie is dus een functie op het modulaire gebied (in plaats van een sectie van een lijnbundel).
Modulaire vormtheorie is een speciaal geval van de meer algemene theorie van de automorfe vormen en kan daarom worden gezien als de meest concrete manifestatie van een rijke theorie van de discrete groepen.
Voorbeelden [bewerken]
De eenvoudigste voorbeelden van modulaire vormen zijn de Eisenstein-reeksen. Voor elk even geheel getal k > 2, definieert men Ek(Λ) als de som van λ−k over alle niet-nul zijnde vectoren λ van Λ:
De conditie k > 2 is nodig voor convergentie; de conditie dat k even is voorkomt dat λ−k wegvalt tegen (−λ)−k.
Geschiedenis [bewerken]
De theorie van de modulaire vormen werd ontwikkeld in vier perioden: allereerst in het eerste deel van de negentiende eeuw in verband met de theorie van de elliptische functies; daarna tegen het einde van de negentiende eeuw door Felix Klein en anderen op het moment dat het automorfe vorm concept (voor één variabele) langzamerhand werd begrepen; vervolgens vanaf 1925 door Erich Hecke; en tenslotte in de jaren 1960, toen de behoeften van de getaltheorie en in het bijzonder de formulering van de stelling van Shimura-Taniyama duidelijk maakten dat modulaire vormen daar een belangrijke rol in spelen.
Het bedenken van de term modulaire vorm wordt meestal toegeschreven aan Erich Hecke.
