Moment (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening en statistiek zijn momenten kerngrootheden van een kansverdeling. Met behulp van momenten worden begrippen uit de beschrijvende statistiek als gemiddelde, variantie, scheefheid en kurtosis bepaald. Een kansverdeling wordt uniek vastgelegd door zijn momenten, mits deze bestaan. Voor enkele speciale verdelingen, zoals de Lévyverdeling, bestaan niet (alle) momenten. Momenten worden toegepast bij de momentenmethode en zijn verbonden aan de momentgenererende functie.

Er wordt onderscheid gemaakt tussen gewone momenten, centrale momenten, momenten om c, absolute momenten en gestandaardiseerde momenten.

(Gewoon) moment[bewerken]

Het k-de moment van een reëelwaardige functie f(x) wordt gegeven door


\mu'_k =  \int_{-\infty}^\infty x^k\,f(x)\,{\rm d}x.

Wanneer f(x) een kansverdeling is, met bijbehorende stochastische variabele X, dan is μ'k gelijk aan de verwachtingswaarde van Xk.

Het eerste moment is gelijk aan de verwachtingswaarde: \mu'_1 = {\rm E}(X)=\mu. Het tweede moment is gelijk aan \mu'_2 = {\rm E}(X^2) = \mu^2 + \sigma^2.

Centraal moment[bewerken]

Het k-de centraal moment van een kansverdeling f(x), met bijbehorende stochastische variabele X, wordt gegeven door


\mu_k = {\rm E}((X-\mu)^k) = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^k\,f(x)\,{\rm d}x.

Door te centraliseren wordt er voor gezorgd dat het k-de centrale moment niet van lagere orde momenten afhangt: het eerste centrale moment is per definitie nul, het tweede centrale moment is {\rm E}(X-\mu)^2=\sigma^2.

Moment om een constante[bewerken]

In plaats van te centraliseren, kan een moment ook om een andere constante c berekend worden. Het k-de moment om c van een kansverdeling f(x), met bijbehorende stochastische variabele X, wordt gegeven door


\mu_k(c) = {\rm E}((X-c)^k) = = \int_{-\infty}^\infty (x-c)^k\,f(x)\,{\rm d}x

Het gewone k-de moment is dus gelijk aan het k-de moment om nul: μ'k = μk(c = 0).

Gestandaardiseerd moment[bewerken]

Het k-de gestandaardiseerde moment van een kansverdeling f(x), met bijbehorende stochastische variabele X, wordt gegeven door


\bar\mu_k = \frac{\mu_k}{\sigma^k}

waarbij σ de standaardafwijking is. Het gestandaardiseerde moment is een dimensieloze maat.

  • Het eerste gestandaardiseerde moment is altijd nul, omdat het eerste centrale moment per definitie nul is
  • Het tweede gestandaardiseerde moment is altijd één, want het tweede centrale moment komt overeen met de variantie22), hetgeen gelijk is aan het kwadraat van de standaardafwijking
  • Het derde gestandaardiseerde moment wordt scheefheid genoemd
  • Het vierde gestandaardiseerde moment is direct gerelateerd aan de kurtosis

Absoluut moment[bewerken]

Het kde absoluut moment (om c) van een kansverdeling f(x), met bijbehorende stochastische variabele X, wordt gegeven door


M_k(c) =  {\rm E}(|X-c|^k) = = \int_{-\infty}^\infty |x-c|^k\,f(x)\,{\rm d}x

Berekening in een steekproef[bewerken]

Berekening van momenten in een steekproef gaat analoog als berekening bij een kansverdeling. Zo kan bij een steekproef x1, ..., xn het kde moment berekend worden via


m'_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^k

en is bijvoorbeeld het tweede absolute moment rond drie gelijk aan


M_k(3)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-3|^k.

Berekening van momenten met de momentgenererende functie[bewerken]

Met behulp van de momentgenererende functie MX(t) = E(etX) kunnen doorgaans eenvoudig de momenten berekend worden: het kde moment is gelijk aan de waarde van de kde afgeleide van MX in 0. De mathematische details staan bij momentgenererende functie.