Monoïde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Zie het artikel Voor het gelijknamige begrip uit de categorietheorie, zie Monoïde (categorietheorie).

In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een monoïde een algebraïsche structuur die bestaat uit een verzameling, die is uitgerust met een enkele associatieve binaire operatie en een neutraal element, ook wel eenheids- of identiteitselement genoemd.

Een voorbeeld van een monoïde is de verzameling van de natuurlijke getallen met de operatie optellen en het getal 0 als neutraal element.

Een monoïde heeft een iets rijkere algebraïsche structuur dan een halfgroep waarvoor het bestaan van een neutraal element niet is vereist. Een monoïde wordt daarom wel aangeduid als een unitaire halfgroep, dat wil zeggen een halfgroep met een eenheidselement. De geschiedenis van de monoïden en een verdere discussie van enige aanvullende algemene eigenschappen van de monoiden wordt beschreven in het artikel over halfgroepen.

Definitie[bewerken]

Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

Een monoïde (M, *) is een niet-lege verzameling M met een associatieve binaire operatie: * : M \times M \rightarrow M en een voor deze bewerking neutraal element e, die voldoen aan de onderstaande axioma's.

  • Associativiteit:  \forall a, b, c \in M: (a*b)*c = a*(b*c)
  • Neutraal element:  \exists e \in M \forall a \in M: e*a = a*e = a

Een monoïde is een tussenstadium tussen een halfgroep en een groep. Aan de ene kant is een monoïde een halfgroep met een identiteits element, aan de andere kant voldoet een monoïde op één uitzondering na aan alle axioma's, waar ook een groep aan moet voldoen; voor een monoïde is het alleen niet vereist dat elk element een inverse heeft. Een monoïde met inverses zou namelijk een groep zijn.

Als een operatie expliciet moet worden gemaakt kan een monoïde kan worden aangegeven door de tupel (M, *). Het is gebruikelijk om a*b in plaats van *(a,b) te schrijven voor het resultaat van de bewerking * \, toegepast op de elementen a en b van M \,.

Enkele voorbeelden[bewerken]

  • De natuurlijke getallen met de optelling, genoteerd als (\mathbb{N}, +), is een monoïde met 0 als neutraal element.
  • De natuurlijke getallen zonder 0 met de optelling, genoteerd als (\mathbb{N}_0, +), is géén monoïde, want er is geen neutraal element. Uit 1 + n = 1 volgt namelijk noodzakelijk n = 0.
  • De gehele getallen met de optelling, genoteerd als (\mathbb{Z}, +), is een monoïde met 0 als neutraal element.
  • Elk singleton {x} geeft aanleiding tot een uit één element bestaande (triviale) monoïde. Voor een vaste x is deze monoïde uniek, aangezien de axioma's van de monoïde vereisen dat x*x = x. .
  • Elke groep is een monoïde en elke abelse groep is een commutatieve monoïde.
  • Elk begrensd halfrooster is een idempotente commutatieve monoïde.
  • Een halfgroep S kan eenvoudig worden veranderd in een monoïde door een element e, dat niet in S voorkomt toe te voegen en vervolgens e*e = e en s*e = s = s*e te definiëren voor iedere sS.
  • De natuurlijke getallen \N vormen een commutatieve monoïde onder optelling (neutraal element nul), of vermenigvuldiging (neutraal element één). Een deelmonoïde van \N onder optelling wordt een numerieke monoïde genoemd.

Toepassing in de informatica[bewerken]

Monoïden komen in aantal deelgebieden van de wiskunde voor. In de meetkunde representeert een monoïde het concept van een functiecompositie; dit idee is geabstraheerd in de categorietheorie, waar de monoïde een categorie met één object is. Monoïden worden ook gebruikt om een stevige algebraïsche fundering te geven aan de informatica.