Multivariabele analyse

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Multivariabele analyse (ook bekend als multivariate analyse) is de uitbreiding van de wiskundige analyse in één variabele naar analyse in meer dan één variabele. In de functies die worden gedifferentieerd en geïntegreerd spelen in plaats van slechts één, meerdere variabelen een rol.

Typische operaties[bewerken]

Limieten en continuïteit[bewerken]

De analyse van limieten en continuïteit in meerdere dimensies levert veel tegenintuïtieve resultaten op, die niet optreden bij functies met één variabele. Er bestaan bijvoorbeeld scalaire functies van twee variabelen, die punten in hun domein hebben die, wanneer zij benaderd worden langs een willekeurige lijn, een bepaalde limiet geven, maar die, wanneer benaderd langs een parabool, een andere limiet geven. De functie

f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}

nadert naar nul langs elke lijn door de oorsprong. Wanneer de oorsprong echter langs een parabool y = x2 wordt benaderd, heeft deze een limiet van 1/2. Aangezien het kiezen van verschillende paden naar hetzelfde punt verschillende waarden voor de limiet oplevert, bestaat de limiet niet.

Partiële afgeleide[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie partiële afgeleide voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De partiële afgeleide veralgemeent het begrip afgeleide naar hogere dimensies. Een partiële afgeleide van een functie van meer variabelen is een afgeleide met betrekking tot één variabele, waarbij alle andere variabelen constant worden gehouden.

Men kan partiële afgeleiden op interessante manieren combineren om zo ingewikkeldere uitdrukkingen van de afgeleide te construeren. In de vectoranalyse wordt de nabla-operator (\nabla) gebruikt om de concepten gradiënt, divergentie en rotatie in termen van partiële afgeleiden te definiëren. Om de afgeleide als een functie tussen twee ruimten van willekeurige dimensie weer te geven kan men de Jacobi-matrix, een matrix van partiële afgeleiden, gebruiken. De afgeleide kan dus als een lineaire transformatie, die van punt naar punt in het domein van de functie varieert, worden opgevat.

Differentiaalvergelijkingen met partiële afgeleiden worden partiële differentiaalvergelijkingen genoemd. Deze vergelijkingen zijn over het algemeen moeilijker op te lossen dan gewone differentiaalvergelijkingen, die afgeleiden met betrekking tot slechts een variabele bevatten.

Meervoudige integratie[bewerken]

Nuvola single chevron right.svg Zie meervoudige integraal voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De meervoudige integraal breidt het concept van de integraal uit naar functies van meerdere variabelen. Dubbele en drievoudige integralen kunnen worden gebruikt om oppervlakten en volumes van gebieden in het vlak en in de ruimte te berekenen. De stelling van Fubini garandeert dat een meervoudige integraal als een herhaalde integraal kan worden geëvalueerd.

De oppervlakte-integraal en de lijnintegraal worden gebruikt om over gekromde variëteiten, zoals oppervlakken en krommen te integreren.

Hoofdstelling van de analyse in meerdere dimensies[bewerken]

In een analyse met één variabele legt de hoofdstelling van de analyse een verbinding tussen de afgeleide en de integraal. Het verband tussen de afgeleide en de integraal wordt in de multivariabele analyse belichaamd door de beroemde integraalstellingen in de vectoranalyse:

In een meer gevorderde studie van multivariabele calculus is te zien dat deze vier stellingen specifieke incarnaties zijn van een meer algemene stelling, de veralgemeende stelling van Stokes, die van toepassing is op de integratie van differentiaalvormen over variëteiten.

Toepassingen en nut[bewerken]

Technieken uit de multivariabele analyse worden gebruikt om vele interessante objecten uit de natuurkundige wereld te bestuderen. In het bijzonder,

Domein/bereik Toepasbare technieken
Krommen Osculating circle.svg f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n Lengten van krommen, lijnintegralen en kromming.
Oppervlakken Helicoid.PNG f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^n Oppervlakten van oppervlakken, oppervlakteintegralen, flux door oppervlakken en kromming.
Scalaire velden Surface-plot.png f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} Maxima en minima, Lagrange-multiplicatoren, richtingsafgeleiden.
Vectorvelden Vector field.svg f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n Alle operaties uit de vectoranalyse, waaronder gradient, divergentie en rotatie.

Multivariabele analyse kan worden toegepast om deterministische systemen met meerdere vrijheidgraden te bestuderen. Functies met onafhankelijke variabelen, die een op een corresponderen aan elk van deze vrijheidsgraden, worden vaak gebruikt om deze systemen te modelleren. De multivariabele analyse biedt gereedschappen voor het karakteriseren van de systeemdynamica.

De multivariabele analyse wordt op vele gebieden binnen de techniek en de natuurwetenschappen en sociale wetenschappen gebruikt voor het modelleren en bestuderen van hoog-dimensionale systemen die zich kenmerken door deterministisch gedrag. Niet-deterministische systemen kunnen met behulp van een ander deelgebied van de wiskunde, zoals de stochastische analyse worden bestudeerd.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]

Voetnoten[bewerken]