Naald van Buffon

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De kans dat een naald van Buffon op een lijn valt is rechtstreeks verbonden met het getal pi.
De kans dat een naald van Buffon op een lijn valt is gelijk aan de grootte van de rode hoek gedeeld door pi. Deze tekening is voor het geval dat de lengte van de naald gelijk is aan de afstand tussen twee opeenvolgende parallelle lijnen.

De naald van Buffon laat toe het getal \pi experimenteel te bepalen door naalden willekeurig op een rooster van evenwijdige lijnen te laten vallen. De kans dat een naald op een van de lijnen valt is rechtstreeks verbonden met het getal \pi. Deze methode om \pi experimenteel door middel van kansrekening te benaderen is genoemd naar de Franse wetenschapper Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon. De methode is een avant la lettre-voorbeeld van een zogenaamde Monte Carlomethode.

Lengte van de naald gelijk aan afstand tussen de lijnen[bewerken]

In dit geval nemen we aan dat de lengte L van de naald gelijk is aan de afstand D tussen twee opeenvolgende evenwijdige lijnen van het rooster. De kans dat een naald op een lijn ligt kan als volgt berekend worden. Stel dat er een lijn ligt op x = -D/2, en een op x = +D/2. Door de symmetrie volstaat het na te gaan hoe groot de kans is indien het middelpunt van de naald zich tussen x=0 en x=D/2 bevindt, zoals op bijgaande figuur. De hoek \theta die de naald maakt met de horizontale lijn ligt maximaal tussen -\pi/2 en +\pi/2, en is tussen deze twee waarden uniform verdeeld. Als het middelpunt van de naald zich op positie x bevindt zal de naald de lijn snijden indien:

\theta \, \in \, \left[-\arccos\left(\frac{D/2-x}{D/2}\right) , \dots, \arccos\left(\frac{D/2-x}{D/2}\right) \, \right]

Omdat deze hoek uniform verdeeld is over een interval met lengte \pi is de kans dat een naald met middelpunt op positie x de volgende lijn snijdt gelijk aan de lengte van bovenstaand interval gedeeeld door \pi:

P(x) \, = \, \frac{2}{\pi} \arccos\left(\frac{D/2-x}{D/2}\right)

Dit is niets anders dan het bekende basisprincipe van kansrekening: de kans is gelijk aan het aantal gunstige gebeurtenissen (naald valt op een lijn) gedeeld door het aantal gebeurtenissen.

Door nu deze kans te integreren over de mogelijke waarden van x, namelijk van x=0 tot x=D/2, en te delen door de lengte van dit interval vinden we als totale kans:

P \, = \, \frac{2}{D} \, \int_{x=0}^{x=D/2} \, \frac{2}{\pi} \arccos\left(\frac{D/2-x}{D/2}\right) \,dx  \, = \, \frac{2}{\pi}

De deling door de lengte van het interval is opnieuw een uiting van het vernoemde basisprincipe: het aantal gunstige gebeurtenissen gedeeld door aantal gebeurtenissen.

Andere lengtes[bewerken]

Andere gevallen waarbij de lengte van de naald niet gelijk is aan de afstand tussen de lijnen kunnen op gelijkaardige manier door middel van een integraal worden bekomen

  • Indien de naald korter is dan de afstand tussen de lijnen wordt de kans:
P \, = \, \frac{2}{D} \, \int_{x=(D-L)/2}^{x=D/2} \, \frac{2}{\pi} \arccos\left(\frac{D/2-x}{L/2}\right) \,dx  \, = \, \frac{2L}{D\pi}
  • Indien de naald langer is dan de afstand tussen de lijnen wordt de kans:
P \, = \, \frac{2L}{D\pi} \,- \, \frac{2}{D\pi} \left[\sqrt{L^2 \, - \, D^2} \, + \, D \arcsin\left(\frac{D}{L}\right)\right] \, + \, 1

Schatting van \pi[bewerken]

Stel dat in het geval van een korte naald (L<D) n keer een naald gegooid wordt, waarvan er h keer een naald op een lijn valt. De daaruit afgeleide benadering van \pi is dan:

\pi \approx \frac{2 L n}{D h}

De Italiaanse wiskundige Mario Lazzarini voerde in 1901 een experiment met de naalden van Buffon uit, met naalden waarvan de lengte 5/6 was van de afstand tussen de opeenvolgende lijnen. Door middel van n = 3408 naalden verkreeg hij de bekende rationale schatting 355/113 voor \pi, een zeer nauwkeurig resultaat dat pas in het zevende cijfer na de komma verschilt van de juiste waarde. De nauwkeurigheid van het resultaat was echter in zekere zin a priori ingebouwd in het experiment.

De nauwkeurigheid van de benadering hangt namelijk sterk af van het aantal keer n dat de naald gegooid wordt. Dit kan als volgt aangetoond worden, waarbij voor de eenvoud de lengte van de naald gelijk genomen wordt aan de afstand tussen de lijnen, en waarbij we niet pi, maar 2/\pi benaderen. De verhouding van het aantal naalden die op een lijn vallen tegenover het aantal gegooide lijnen is dan in theorie:

\frac{h}{n} \, = \, \frac{2}{\pi} \, = \, 0,6366197722 \dots

Stel bijvoorbeeld n = 1000, dan zal in het beste geval h gelijk zijn aan 637, want h moet natuurlijk een geheel getal zijn. Met deze waarden van h en n bekomt men dus een benadering

 \frac{2}{\pi} \, \approx \, 0,63700 \dots

wat neerkomt op een relatieve fout van 0,0005973 in de benadering van 2/\pi. Neemt men echter n = 355, dan zal men in het beste geval 226 successen boeken, en wordt de benadering:

 \frac{2}{\pi} \, \approx \, 0,6366197183 \dots

wat neerkomt op een relatieve fout van slechts 0,000000085 in de benadering van 2/\pi. Hoewel het aantal gegooide naalden dus driemaal kleiner is dan in het eerste geval vindt men een veel betere schatting van 2/\pi en dus ook van \pi. De onderliggende reden is dat \pi toevallig zeer nauwkeurig wordt benaderd door het rationale getal 355/113, en bijgevolg 2/\pi zeer nauwkeurig wordt benaderd door 2 × 113/355.

Lazzarini gebruikte hoogstwaarschijnlijk een dergelijke redenering. Het aantal naalden dat hij gooide was precies aangepast aan de verhouding 5/6. Bij die verhouding blijkt n = 213 een optimale keuze te zijn. Zijn aantal naalden was hier een geheel veelvoud van, namelijk 3408 = 213 × 16. Door n gelijk aan een voldoende groot veelvoud van het optimale aantal te kiezen wordt de kans op een perfecte uitvoering van het experiment immers nog vergroot. Groepen van 213 metingen met één of een paar gunstige naalden te weinig zullen dan immers gemiddeld gecompenseerd worden door groepen van 213 met één of een paar te veel gunstige naalden.

Strikt wetenschappelijk genomen is een dergelijke methode echter niet correct, want om het aantal naalden te kiezen maakt men reeds gebruik van een benaderde waarde van \pi. Het getal \pi moet dus reeds a priori gekend zijn, terwijl het experiment juist wordt opgezet om \pi te meten.