Negatief-binomiale verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening is de negatief-binomiale verdeling een discrete kansverdeling. Het is de kansverdeling van het benodigde aantal onafhankelijke pogingen met steeds kans p op succes, om een vastgelegd aantal successen m te behalen.

Als we een reeks onafhankelijke Bernoulli-pogingen doen met succeskans p, kunnen we een vast aantal beschouwen, zodat we maar moeten afwachten hoe vaak we succes zullen hebben. Dit leidt tot de binomiale verdeling. Gaan we echter net zolang door tot we voor de m-de keer succes hebben, dan moeten we maar afwachten hoe veel experimenten we moeten doen. Dat aantal, N, is een stochastische variabele met als verdeling de negatief-binomiale verdeling, gegeven door:

P(N=n)=\tbinom{n-1}{m-1} p^m (1-p)^{n-m}, voor n=m,m+1,m+2,m+3, ...

Eenvoudig is in te zien dat deze kans ontstaat doordat er m successen moeten zijn, elk met kans p, en van de n-1 pogingen die aan het laatste succes voorafgaan er n-m mislukkingen, elk met kans 1-p. De binomiaalcoëfficiënt geeft het aantal mogelijkheden voor de verdeling van de m-1 successen over de n-1 pogingen voorafgaand aan de laatste.

Voorbeeld[bewerken]

Beschouw een gewone dobbelsteen, die herhaaldelijk geworpen wordt tot voor de 10e keer "1" verschijnt. Het benodigde aantal worpen is negatief-binomiaal verdeeld met parameters m=10 en succeskans p=1/6 en waardenbereik {10, 11, 12, ...}.

Verwachtingswaarde en variantie[bewerken]

De verwachtingswaarde E(N) van een negatief-binomiaal verdeelde toevalsgrootheid N met parameters m em p, en de variantie var(N) zijn:

E(N) = \frac mp \ ; \quad \mathrm{var}(N) = m\frac{1-p}{p^2}.

Speciaal geval[bewerken]

De geometrische verdeling is een speciaal geval van de negatief-binomiale verdeling, met parameter m = 1.