Negenproef

De negenproef is een methode om een berekening zoals een optelling of een vermenigvuldiging, te controleren op fouten.

De negenproef is een toepassing van het modulo-rekenen, en bestaat erin alle getallen van een berekening eerst modulo 9 te reduceren tot een getal kleiner dan 9, en dan de berekening op die getallen toe te passen. Als de resultaten modulo 9 niet overeenstemmen, is er in de berekening een fout gemaakt. Stemmen de resultaten wel overeen, dan is men nog niet geheel zeker van een juiste berekening. De proef is dus niet waterdicht. Wel is men zeker van een rekenfout als de uitkomst van de proef niet klopt.

Natuurlijk kunnen ook andere getallen dan 9 gebruikt worden voor de modulo-berekening. Het voordeel van de negenproef berust erop dat het resultaat van rekenen modulo 9, dus de rest bij deling door 9, ook verkregen wordt als de rest bij deling door 9 van het totaal van de cijfers van het getal. De rest wordt dus eenvoudig verkregen door de cijfers van het getal bij elkaar op te tellen en steeds wanneer nodig er 9 vanaf te trekken.

Voorbeeld

Stel we hebben als uitkomst van 491 × 5.915 het getal 2.904.365 berekend. Met de negenproef bepalen we nu 491 mod 9 = 5 via de berekening: 4+9+1 = 14 → 1+4 = 5, en 5915 mod 9 = 2 via: 5+9+1+5 = 20 → 2+0 = 2, en berekenen vervolgens (5 × 2) mod 9 = 1, weer door optellen van de cijfers van het resultaat 10. De juiste uitkomst moet dus bij deling door 9, 1 als rest hebben. Het getal 2.904.365 heeft als som van de cijfers 2 + 9 + 0 + 4 + 3 + 6 + 5 = 29. Omdat 2+9 = 11 en 1+1 = 2, geldt: 29 mod 9 = 2, en is het antwoord dus fout.

Het juiste antwoord 2.904.265 is modulo 9 gelijk aan 1 (2+9+0+4+2+6+5 = 28 → 2+8 = 10 → 1+0 = 1) en doorstaat dus de negenproef, maar dat geldt ook voor het foutieve 2.904.256, dat gemakkelijk een verschrijving kan zijn door omwisseling van de laatste twee cijfers.

Geschiedenis

De negenproef wordt al genoemd in het werk van Mohammed ibn Moesa Chwarizmi over het rekenen met Indische getallen, bekend door het enige latijnse handschrift daarvan: Algoritmi de numero Indorum.

Elfproef

Verwant met de negenproef is de elfproef. Onder deze term worden enkele methoden verstaan om de geldigheid van belangrijke nummers te controleren. Ze berusten evenals de negenproef op de relatieve eenvoud van het rekenen modulo 11 in het decimale stelsel. Om de rest bij deling door 11 van een getal te bepalen, kunnen de cijfers van het (decimale) getal alternerend opgeteld en afgetrokken worden, te beginnen bij het achterste cijfer. Het volgende voorbeeld verduidelijkt dit nog. Van het getal 123456789 wordt de rest bij deling door 11 bepaald. er geldt:

123456789 = 11223344 × 11 + 5.

De rest 5 laat zich gemakkelijk bepalen door de berekening:

9-8+7-6+5-4+3-2+1 = 5,

waarin de cijfers beurteling opgeteld en afgetrokken worden, te beginnen bij de achterste 9.

Ter verdere controle van een berekening kan dan ook naast de negenproef de elfproef toegepast worden. In het bovengegeven voorbeeld gaat dat als volgt:

491 × 5.915 =?= 2.904.365

Modulo 11 betekent dat

1 – 9 + 4 = –4 (+11) = 7, dus de rest is 7 (491 = 44 × 11 + 7)

5 – 1 + 9 – 5 = 8, dus de rest is 8 (5.915 = 537 × 11 + 8)

5 – 6 + 3 – 4 + 0 – 9 + 2 = –9 (+11) = 2 dus de rest is 2 (2.904.365 = 264033 × 11 + 2)

en ter controle:

7×8 = 56 (=5×11 + 1): 6 – 5 = 1

Het antwoord is dus fout. Het foute antwoord 2.904.356, dat de negenproef doorstaat, valt bij de elfproef door de mand:

(2.904.356 = 264023 × 11 + 3) 6 – 5 + 2 – 4 + 0 – 9 + 2 = -8 (+11) = 3

Het goede antwoord:

491 × 5.915 = 2.904.265,

met

(2.904.265 = 264024 × 11 + 1) 5 – 6 + 2 – 4 + 0 – 9 + 2 = –10 (+11) = 1

doorstaat uiteraard de elfproef.