Nevenklasse

In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse een bepaalde verzameling elementen van een groep die ontstaat door de elementen van een ondergroep samen te stellen met een vast element. Het Engelse coset treedt op als synoniem.

Definitie

Zij G een groep, H een ondergroep van G en g een willekeurig element van G (dat niet noodzakelijk tot H behoort).

De linkernevenklasse van g ten opzichte van H is de verzameling producten van elementen van H, links samengesteld met g:

$gH=\{ gh | h \in H \}$

De verzameling van alle linkernevenklassen van H in G noteert men gewoonlijk

${ G/H }$

De rechternevenklasse van g ten opzichte van H is de verzameling producten van elementen van H, rechts samengesteld met g:

$Hg=\{ hg | h \in H \}$

De verzameling van alle rechternevenklassen van H in G noteert men gewoonlijk

G\H

In een abelse groep zijn linker- en rechternevenklassen gelijk. In een niet-abelse groep kunnen linker- en rechternevenklassen verschillen. De normalisator van H in G is de verzameling elementen van G waarvoor de desbetreffende linker- en rechternevenklasse identiek zijn.

Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep H identiek zijn voor alle elementen g van G, dan noemen we H een normaaldeler van G en we spreken kortweg van nevenklassen. In dat geval kunnen we G/H ook uitrusten met een groepsbewerking en spreken we van de factorgroep van G over H.

In een abelse groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.

Voorbeelden

Voorbeeld in een abelse groep

Beschouw de veelvouden van 8 als ondergroep van de gehele getallen met de gewone optelling:

$8\mathbb{Z}=\{\ldots,-16,-8,0,8,16,24,\ldots\}$

De nevenklasse van het getal 35 bestaat uit alle veelvouden van 8, plus 3:

$8\mathbb{Z}+35=8\mathbb{Z}+3=\{\ldots,-5,3,11,19,27,35,\ldots\}$

Het is de restklasse van 3 (en van 35) bij deling door 8.

Voorbeeld in een niet-abelse groep

Beschouw de groep SO(3) der rotaties van de reële driedimensionale ruimte. Dit is een Lie-groep, maar in dit voorbeeld speelt slechts de algebraïsche structuur een rol. Beschouw een orthonormaal coördinatenstelsel (x,y,z) en noem H de ondergroep van SO(3) die bestaat uit de rotaties om de Z-as. Noteer r voor de rotatie ter grootte van een rechte hoek om de Y-as die de Z-as op de X-as afbeeldt, met behoud van de positieve oriëntatie.

De linkernevenklasse rH bestaat uit alle rotaties die de Z-as oriëntatiebewarend op de X-as afbeelden. De rechternevenklasse Hr bestaat uit alle rotaties die de X-as met omkering van de oriëntatie op de Z-as afbeelden. Beide nevenklassen zijn verschillend, ze hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk (namelijk r zelf).

De ondergroep H is geen normaaldeler van SO(3). De normalisator van H in SO(3) is H zelf.

Cardinaliteit

De samenstelling met een vast element g is een permutatie van G, dus alle nevenklassen van H hebben evenveel elementen als H zelf.

De verschillende linkernevenklassen van H zijn onderling disjunct.

Uit het bovenstaande volgt voor eindige groepen de stelling van Lagrange over de orde (dit wil zeggen, het aantal elementen) van een ondergroep:

De orde van G is het product van de orde van H met het aantal linkernevenklassen van H in G.

Uiteraard gelden gelijkaardige conclusies voor de rechternevenklassen.