Nevenklasse

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de groepentheorie, een onderdeel van de abstracte algebra, is een nevenklasse binnen een groep G een deelverzameling van de elementen van G, die ontstaat door de elementen van een ondergroep H van G te vermenigvuldigen met een willekeurig, vast element g van G. Het aantal elementen in een nevenklasse gH of Hg van de ondergroep H van G is dus gelijk aan het aantal elementen in H zelf. De vermenigvuldiging van twee elementen van een groep is iets anders dan de vermenigvuldiging van twee getallen.

Definitie[bewerken]

Zij G een groep, H een ondergroep van G en g een willekeurig element van G, dat niet noodzakelijk tot H behoort.

De linkernevenklasse van g ten opzichte van H is de verzameling producten van elementen van H, links samengesteld met g:

gH=\{ gh | h \in H \}

De verzameling van alle linkernevenklassen van H in G noteert men gewoonlijk

{ G/H }

De rechternevenklasse van g ten opzichte van H is de verzameling producten van elementen van H, rechts samengesteld met g:

Hg=\{ hg | h \in H \}

De verzameling van alle rechternevenklassen van H in G noteert men gewoonlijk

G\H

In een abelse groep zijn linker- en rechternevenklassen gelijk. In een niet-abelse groep kunnen linker- en rechternevenklassen verschillen. De normalisator van H in G is de verzameling elementen van G waarvoor de desbetreffende linker- en rechternevenklasse identiek zijn.

Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep H identiek zijn voor alle elementen g van G, dan noemen we H een normaaldeler van G en we spreken kortweg van nevenklassen. In dat geval kunnen we G/H ook uitrusten met een groepsbewerking en spreken we van de factorgroep van G over H.

In een abelse groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.

Voorbeelden[bewerken]

Voorbeeld in een abelse groep[bewerken]

Beschouw de veelvouden van 8 als ondergroep van de gehele getallen met de gewone optelling:

8\mathbb{Z}=\{\ldots,-16,-8,0,8,16,24,\ldots\}

De nevenklasse van het getal 35 bestaat uit alle veelvouden van 8, plus 3:

8\mathbb{Z}+35=8\mathbb{Z}+3=\{\ldots,-5,3,11,19,27,35,\ldots\}

Het is de restklasse van 3 (en van 35) bij deling door 8.

Voorbeeld in een niet-abelse groep[bewerken]

Beschouw de groep SO(3) der rotaties van de reële driedimensionale ruimte. Dit is een Lie-groep, maar in dit voorbeeld speelt slechts de algebraïsche structuur een rol. Beschouw een orthonormaal coördinatenstelsel (x,y,z) en noem H de ondergroep van SO(3) die bestaat uit de rotaties om de Z-as. Noteer r voor de rotatie ter grootte van een rechte hoek om de Y-as die de Z-as op de X-as afbeeldt, met behoud van de positieve oriëntatie.

De linkernevenklasse rH bestaat uit alle rotaties die de Z-as oriëntatiebewarend op de X-as afbeelden. De rechternevenklasse Hr bestaat uit alle rotaties die de X-as met omkering van de oriëntatie op de Z-as afbeelden. Beide nevenklassen zijn verschillend, ze hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk, namelijk r zelf.

De ondergroep H is geen normaaldeler van SO(3). De normalisator van H in SO(3) is H zelf.

Cardinaliteit[bewerken]

De samenstelling met een vast element g is een permutatie van G, dus alle nevenklassen van H hebben evenveel elementen als H zelf.

De verschillende linkernevenklassen van H zijn onderling disjunct.

Uit het bovenstaande volgt voor eindige groepen de stelling van Lagrange over de orde, het aantal elementen, van een ondergroep:

De orde van G is het product van de orde van H met het aantal linkernevenklassen van H in G.

Uiteraard gelden gelijkaardige conclusies voor de rechternevenklassen.